Doğrusal Denklemler: Koordinat Sistemi
1. Koordinat Sistemini Tanıyalım
İki sayı doğrusunun 0 (sıfır) noktasında dik kesişmesiyle oluşan sisteme Dik Koordinat Sistemi denir. Bu sistem, matematik dünyasının GPS’idir!
- x Ekseni (Yatay): Diğer adı Apsis eksenidir. (Aklında “Ayaklarım Yerde” diye tutabilirsin, yataydır.)
- y Ekseni (Dikey): Diğer adı Ordinat eksenidir. (Aklında “Yukarı” kelimesinin Y’sinden tutabilirsin.)
- Orijin (Başlangıç): İki eksenin kesiştiği $O(0,0)$ noktasıdır.
2. Nokta Nasıl Bulunur? (Sıralı İkili)
Koordinat sistemindeki her nokta $(x, y)$ şeklinde ikililerle gösterilir. Burada SIRA ÇOK ÖNEMLİDİR!
📍 Adres Tarifi Kuralı
Önce Yürü, Sonra Çık!
Bir noktayı bulurken; önce x ekseninde (sağa/sola) yürürsün, sonra apartmana girip y ekseninde (yukarı/aşağı) asansörle çıkarsın veya inersin.
Örn: $(3, -2)$ noktası için: Orijinden başla, 3 birim SAĞA git, 2 birim AŞAĞI in.
3. Bölgeler ve İşaretler
Koordinat sistemi düzlemi 4 bölgeye ayırır. Saat yönünün tersine doğru sıralanırlar. İşaretleri ezberlemek yerine mantığını kavra:
| Bölge | x (Apsis) | y (Ordinat) | İşaret (x, y) |
|---|---|---|---|
| 1. Bölge (Sağ-Üst) | Sağda (+) | Yukarıda (+) | + , + |
| 2. Bölge (Sol-Üst) | Solda (–) | Yukarıda (+) | – , + |
| 3. Bölge (Sol-Alt) | Solda (–) | Aşağıda (–) | – , – |
| 4. Bölge (Sağ-Alt) | Sağda (+) | Aşağıda (–) | + , – |
Eğer bir noktanın bileşenlerinden biri 0 (sıfır) ise, o nokta hiçbir bölgede değildir! Eksen üzerindedir.
- $(5, 0) \rightarrow$ x ekseni üzerindedir. (y’si sıfır)
- $(0, -3) \rightarrow$ y ekseni üzerindedir. (x’i sıfır)
🎮 Koordinat Avcısı
Aşağıdaki noktaların yerini doğru tahmin et!
Soru 1: $A(-3, 5)$ noktası kaçıncı bölgededir?
(İpucu: x negatif (sol), y pozitif (yukarı))
Doğrusal Denklemlerin Grafiği
1. Eksenlere Paralel Doğrular
Eğer denklemde sadece tek bir harf (sadece x veya sadece y) varsa, bu doğrular eksenlere dik veya paraleldir.
Sadece $x$ vardır. x eksenini “a” noktasında dik keser. y eksenine paraleldir.
(3. kattan geçen bir direk gibi düşün)
Sadece $y$ vardır. y eksenini “b” noktasında dik keser. x eksenine paraleldir.
(-2. katta yatan bir çizgi gibi düşün)
2. Orijinden Geçen Doğrular ($y = ax$)
Denklemde Sabit Terim Yoksa (yani yanında tek başına duran bir sayı yoksa), bu doğru kesinlikle Orijinden $(0,0)$ geçer.
- Doğrunun $(0,0)$ noktasından geçtiğini işaretle.
- x yerine rastgele bir değer ver (örneğin 1) ve y’yi bul.
- Bulduğun ikinci noktayı işaretle ve bu iki noktayı birleştir!
$x=0$ için $y=0 \rightarrow (0,0)$ (Orijin)
$x=1$ için $y=2 \rightarrow (1,2)$
Çizim: $(0,0)$ ve $(1,2)$ noktalarından geçen doğruyu çiz.
3. Eksenleri Kesen Doğrular ($ax + by + c = 0$)
Denklemde hem $x$, hem $y$, hem de sabit sayı varsa, bu doğru orijinden geçmez; her iki ekseni de farklı yerlerde keser.
🔥 ALTIN TAKTİK: “Sıfır Ver, Diğerini Bul”
Bu grafikleri çizmenin en kolay yolu eksenleri kestiği noktaları bulmaktır.
- x’e 0 ver $\rightarrow$ y eksenini kestiği yeri bul.
- y’ye 0 ver $\rightarrow$ x eksenini kestiği yeri bul.
Örnek Uygulama: $2x + 3y = 12$
$2(0) + 3y = 12$
$3y = 12 \rightarrow y = 4$
Nokta: (0, 4)
$2x + 3(0) = 12$
$2x = 12 \rightarrow x = 6$
Nokta: (6, 0)
Sonuç: Grafik y eksenini 4’te, x eksenini 6’da kesen bir çizgidir.
🎮 Grafik Dedektifi
Denklemlere bakarak grafiklerin karakterini çöz!
Soru 1: $y = 3x – 6$ denkleminin grafiği için hangisi doğrudur?
(İpucu: Sabit sayı var mı? Varsa orijinden geçmez.)