Analitik Geometri: Nokta ve Doğru Arasındaki Uzaklık
Bir Noktanın Bir Doğruya Olan Uzaklığı
Analitik geometride sıkça karşımıza çıkan temel konulardan biri, bir noktanın bir doğruya olan en kısa mesafesini bulmaktır. Unutmayın, “uzaklık” denildiğinde her zaman dik (en kısa) uzaklık kastedilir.
Bir \(A(x_1, y_1)\) noktasının, denklemi \(ax + by + c = 0\) olan bir \(d\) doğrusuna olan uzaklığını, yani \(|AB|\) uzunluğunu bulmak için özel bir formülümüz var. Bu formül, noktanın koordinatlarını doğru denklemine yerleştirip, denklemin katsayılarıyla ilgili bir değere bölerek hesaplanır.
\(A(x_1, y_1)\) noktasının \(ax + by + c = 0\) doğrusuna olan uzaklığı \(k\) ise:
\[ k = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]
Örnek 1
Analitik düzlemde \(A(3, -2)\) noktasının \(5x + 12y = 17\) doğrusuna olan uzaklığının kaç birim olduğunu bulunuz.
Çözüm Adımları:
- Denklemi Düzenle: Doğru denklemini standart forma getirelim.
\(5x + 12y = 17 \Rightarrow 5x + 12y – 17 = 0\) - Değerleri Belirle: Nokta ve doğru denkleminden katsayıları ve koordinatları alalım.
Noktamız \(A(x_1, y_1) \Rightarrow x_1 = 3, y_1 = -2\).
Doğrumuz \(ax + by + c = 0 \Rightarrow a = 5, b = 12, c = -17\). - Formülde Yerine Koy: Bu değerleri uzaklık formülüne yerleştirelim.
Uzaklık \(k = \frac{|a x_1 + b y_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{|5 \cdot (3) + 12 \cdot (-2) – 17|}{\sqrt{5^2 + 12^2}}\) - Hesapla:
Pay: \(|15 – 24 – 17| = |-26| = 26\)
Payda: \(\sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\)
Sonuç: \(k = \frac{26}{13} = 2\) birim bulunur.
Örnek 2
Analitik düzlemde alanı 9 birimkare olan ABCD karesinin BC kenarı \(d: 3x – 4y + 4 = 0\) doğrusu üzerindedir. A köşesi \(A(-1, k)\) olduğuna göre \(k\)’nin alabileceği değerler çarpımını bulunuz.
Çözüm Adımları:
- Karenin Kenar Uzunluğunu Bul: Karenin alanı 9 birimkare ise bir kenar uzunluğu \(\sqrt{9} = 3\) birimdir.
- Geometrik İlişkiyi Kur: A köşesi, BC kenarını taşıyan doğruya komşu değildir. Bu durumda, A köşesinin BC kenarını taşıyan doğruya olan dik uzaklığı, karenin bir kenar uzunluğuna eşittir. Yani bu uzaklık 3 birimdir.
- Uzaklık Formülünü Uygula: \(A(-1, k)\) noktasının \(3x – 4y + 4 = 0\) doğrusuna olan uzaklığının 3 olduğunu biliyoruz. Formülü yazalım:
\(3 = \frac{|3 \cdot (-1) – 4 \cdot k + 4|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}\) - Denklemi Çöz:
\(3 = \frac{|-3 – 4k + 4|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|1 – 4k|}{\sqrt{25}} = \frac{|1 – 4k|}{5}\)
Çapraz çarpım yaparsak: \(15 = |1 – 4k|\) - Mutlak Değerli Denklemi Çöz: Mutlak değerli bir ifade bir sayıya eşitse, içindeki ifade o sayının pozitifine veya negatifine eşit olabilir.
- Durum 1: \(1 – 4k = 15 \Rightarrow -4k = 14 \Rightarrow k_1 = -\frac{14}{4} = -\frac{7}{2}\)
- Durum 2: \(1 – 4k = -15 \Rightarrow -4k = -16 \Rightarrow k_2 = 4\)
- Sonuca Ulaş: Soru bizden \(k\)’nin alabileceği değerlerin çarpımını istiyor.
Çarpım = \(k_1 \cdot k_2 = \left(-\frac{7}{2}\right) \cdot 4 = -14\) bulunur.
Paralel İki Doğru Arasındaki Uzaklık
Birbirine paralel olan iki doğrunun arasındaki uzaklık, her noktada aynıdır. Bu uzaklığı bulmak için de pratik bir formülümüz var. Formülün mantığı aslında çok basittir: Birinci doğru üzerinde herhangi bir nokta alıp, bu noktanın ikinci doğruya olan uzaklığını hesaplamak. Ancak bu işlem yerine, direkt katsayıları kullanan daha hızlı bir yöntem mevcuttur.
\(d_1: ax + by + c_1 = 0\)
\(d_2: ax + by + c_2 = 0\)
Bu iki paralel doğru arasındaki uzaklık \(d\) ise:
\[ d = \frac{|c_1 – c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]
Örnek 3
Bir eşkenar dörtgenin karşılıklı iki kenarını taşıyan doğrular \(d_1: 3x – 4y – 14 = 0\) ve \(d_2: 8y – 6x – 12 = 0\) olarak verilmiştir. Eşkenar dörtgenin bir iç açısı 60° olduğuna göre, bu eşkenar dörtgenin alanını bulunuz.
Çözüm Adımları:
- Denklemleri Eşitle: Doğruların paralel olduğunu kontrol edip katsayılarını eşitleyelim.
\(d_1: 3x – 4y – 14 = 0\)
\(d_2: -6x + 8y – 12 = 0\). Bu denklemi -2 ile sadeleştirirsek \(d_1\)’in katsayılarına ulaşırız.
\(d_2: \frac{-6x}{-2} + \frac{8y}{-2} – \frac{12}{-2} = 0 \Rightarrow 3x – 4y + 6 = 0\) - Yüksekliği Hesapla: Artık katsayılar eşit. İki paralel doğru arasındaki uzaklık, eşkenar dörtgenin yüksekliğidir (\(h\)).
\(a=3, b=-4, c_1=-14, c_2=6\).
\(h = \frac{|c_1 – c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{|-14 – 6|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|-20|}{\sqrt{9+16}} = \frac{20}{5} = 4\) birim. - Kenar Uzunluğunu Bul: Eşkenar dörtgenin bir açısı 60°. Yükseklik ile bir kenar arasında bir 30-60-90 üçgeni oluşur. Yükseklik \(h=4\), 60°’lik açının karşısındadır. Kenar uzunluğu (\(s\)) ise hipotenüstür.
\(h = s \cdot \sin(60°) \Rightarrow 4 = s \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(s = \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}\) birim. - Alanı Hesapla: Eşkenar dörtgenin alanı, taban çarpı yüksekliktir.
Alan = \(s \cdot h = \left(\frac{8\sqrt{3}}{3}\right) \cdot 4 = \frac{32\sqrt{3}}{3}\) birimkare bulunur.
Sıra Sizde!
Aşağıdaki soruları çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.
- Analitik düzlemde \(A(4, -1)\) noktasının \(4x – 3y + 1 = 0\) doğrusuna olan uzaklığının kaç birim olduğunu bulunuz.
- Analitik düzlemde \(A(k, -2)\) noktasının \(6x + 8y – 5 = 0\) doğrusuna olan uzaklığı \(\frac{5}{2}\) birim olduğuna göre \(k\)’nin pozitif değerini bulunuz.
- AD ve BC kenarları sırasıyla \(x + 2y – 10 = 0\) ve \(2x + 4y + m = 0\) doğruları üzerinde olan ABCD paralelkenarında \(|BC| = 2\sqrt{5}\) birimdir. Paralelkenarın alanı 20 birimkare olduğuna göre m gerçek sayısının alabileceği değerlerin toplamını bulunuz.