Analitik Düzlemde Doğrular
Analitik geometri, geometriyi cebirsel denklemlerle ifade etmemizi sağlayan güçlü bir araçtır. Bu konunun temel taşı ise doğrulardır. Günlük hayatta karşılaştığımız birçok problem, örneğin ekonomideki arz-talep dengesi veya bir hareketlinin sabit hızla aldığı yol, doğrusal ilişkilerle modellenebilir. Bu bölümde, analitik düzlemdeki doğruları, onların en temel özelliği olan eğimi ve denklemlerini derinlemesine inceleyeceğiz.
Doğrunun Eğimi
Bir doğrunun analitik düzlemdeki duruşunu, yani ne kadar “yatık” veya “dik” olduğunu belirten matematiksel kavrama eğim denir.
Eğim Açısı (\(\alpha\)): Bir doğrunun \(x\)-ekseni ile pozitif yönde (saat yönünün tersi) yaptığı açıya o doğrunun eğim açısı denir.
Eğim (m): Eğim açısının tanjant değerine doğrunun eğimi denir ve genellikle \(m\) harfi ile gösterilir.
Eğim açısı \(\alpha\) olan bir doğrunun eğimi \(m\):
\[ m = \tan(\alpha) \]
Eğimin değeri, eğim açısının büyüklüğüne göre değişir:
- Pozitif Eğim: Eğim açısı dar açı ise (\(0^\circ < \alpha < 90^\circ\)), doğrunun eğimi pozitiftir (\(m > 0\)). Doğru, grafikte sağa yatıktır.
- Negatif Eğim: Eğim açısı geniş açı ise (\(90^\circ < \alpha < 180^\circ\)), doğrunun eğimi negatiftir (\(m < 0\)). Doğru, grafikte sola yatıktır.
- Sıfır Eğim: Eğim açısı \(0^\circ\) ise (doğru \(x\)-eksenine paralelse), eğim \(m = \tan(0^\circ) = 0\)’dır.
- Tanımsız Eğim: Eğim açısı \(90^\circ\) ise (doğru \(y\)-eksenine paralelse), eğim \(m = \tan(90^\circ)\) tanımsızdır.
a) \(x\)-ekseniyle 120°’lik açı yapan doğru.
b) \(x\)-eksenini kestiği noktada 135°’lik pozitif yönlü açı yapan doğru.
Çözüm:
a) Bize verilen 120°, doğrunun \(x\)-ekseniyle yaptığı geniş açıdır. Eğim açısı \(\alpha\), daima pozitif yönde ölçülür. Bu durumda, doğrunun \(x\)-eksenini kestiği noktadan itibaren saat yönünün tersine olan açı, \(180^\circ – 120^\circ = 60^\circ\) değildir. Verilen 120°’lik açı, eğer pozitif x-ekseni ile yapılan açı ise, eğim açısı doğrudan 120° olur. Ancak grafiğe bakıldığında, 120° negatif x-ekseni ile yapılan açı gibi duruyor. Pozitif x-ekseni ile yapılan açı \(\alpha = 180^\circ – 120^\circ = 60^\circ\) olur.
\[ m = \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \]b) Eğim açısı doğrudan \(\theta = 135^\circ\) olarak verilmiş.
\[ m = \tan(135^\circ) = \tan(180^\circ – 45^\circ) = -\tan(45^\circ) = -1 \]
İki Noktası Bilinen Doğrunun Eğimi
Bir doğrunun üzerinden geçtiği herhangi iki noktası \(A(x_1, y_1)\) ve \(B(x_2, y_2)\) biliniyorsa, eğimini bu noktaların koordinatlarını kullanarak bulabiliriz. Eğim, dikey değişimin (\(y\)’deki değişim) yatay değişime (\(x\)’teki değişim) oranıdır.
\(A(x_1, y_1)\) ve \(B(x_2, y_2)\) noktalarından geçen doğrunun eğimi \(m\):
\[ m = \frac{\text{Dikey Değişim}}{\text{Yatay Değişim}} = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \]
Çözüm:
Eğer üç nokta aynı doğru üzerindeyse, herhangi iki noktayı kullanarak hesaplayacağımız eğim her zaman aynı olmalıdır. Yani, A ve B noktaları arasındaki eğim ile B ve C noktaları arasındaki eğim birbirine eşittir.
\[ m_{AB} = m_{BC} \]
Önce A ve B noktalarını kullanarak eğimi hesaplayalım:
\[ m_{AB} = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{5 – 1}{4 – (-2)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]
Şimdi B ve C noktalarını kullanarak eğimi \(k\) cinsinden yazalım:
\[ m_{BC} = \frac{(k-2) – 5}{13 – 4} = \frac{k – 7}{9} \]
Bu iki eğimi birbirine eşitleyelim:
\[ \frac{2}{3} = \frac{k – 7}{9} \]
İçler dışlar çarpımı yaparsak:
\[ 2 \cdot 9 = 3 \cdot (k – 7) \]
\[ 18 = 3k – 21 \]
\[ 39 = 3k \]
\[ k = 13 \]
Doğru Denklemleri
Bir doğrunun analitik düzlemdeki tüm noktalarının koordinatları arasındaki cebirsel ilişkiye doğru denklemi denir. Bir doğrunun denklemini yazmak için genellikle iki bilgiye ihtiyacımız vardır: eğimi ve üzerinden geçtiği bir nokta.
Eğimi ve Bir Noktası Bilinen Doğrunun Denklemi
Eğimi \(m\) olan ve \(A(x_1, y_1)\) noktasından geçen bir doğrunun denklemini yazmak için, doğru üzerindeki herhangi bir \(P(x, y)\) noktası ile \(A\) noktası arasındaki eğimin \(m\)’ye eşit olduğu prensibini kullanırız.
Eğimi \(m\) olan ve \(A(x_1, y_1)\) noktasından geçen doğrunun denklemi:
\[ y – y_1 = m \cdot (x – x_1) \]
Çözüm:
Verilenler: \(m = -2\) ve \((x_1, y_1) = (-5, 3)\). Nokta-eğim formülünü kullanalım:
\[ y – y_1 = m \cdot (x – x_1) \]
\[ y – 3 = -2 \cdot (x – (-5)) \]
\[ y – 3 = -2 \cdot (x + 5) \]
\[ y – 3 = -2x – 10 \]
Bu denklemi iki farklı şekilde ifade edebiliriz:
1. Açık Denklem (y = mx + n): \(y\)’yi yalnız bırakarak:
\[ y = -2x – 7 \]
2. Kapalı (Genel) Denklem (ax + by + c = 0): Tüm terimleri bir tarafta toplayarak:
\[ 2x + y + 10 – 3 = 0 \Rightarrow 2x + y + 7 = 0 \]
\[ m = -\frac{a}{b} = -\frac{x\text{‘in katsayısı}}{y\text{‘nin katsayısı}} \]
Örneğin, \(2x + y + 7 = 0\) doğrusunda \(a=2, b=1\). Eğim \(m = -2/1 = -2\)’dir.
İki Noktası Bilinen Doğrunun Denklemi
Eğer bir doğrunun üzerinden geçtiği \(A(x_1, y_1)\) ve \(B(x_2, y_2)\) noktaları biliniyorsa, denklemi iki adımla bulabiliriz:
- Önce bu iki noktayı kullanarak eğimi (\(m\)) hesaplarız.
- Sonra bulduğumuz eğimi ve noktalardan herhangi birini (genellikle A noktası kullanılır) nokta-eğim formülünde yerine yazarız.
Alternatif olarak, iki noktası bilinen doğru denklemi formülü de kullanılabilir:
\(A(x_1, y_1)\) ve \(B(x_2, y_2)\) noktalarından geçen doğrunun denklemi:
\[ \frac{y – y_1}{y_2 – y_1} = \frac{x – x_1}{x_2 – x_1} \]
Eksenleri Kestiği Noktaları Bilinen Doğrunun Denklemi
Bir doğrunun \(x\)-eksenini \((a, 0)\) noktasında ve \(y\)-eksenini \((0, b)\) noktasında kestiği biliniyorsa, denklemini yazmanın çok pratik bir yolu vardır.
Eksenleri \((a, 0)\) ve \((0, b)\) noktalarında kesen doğrunun denklemi:
\[ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \]
Çözüm:
Adım 1: Doğrunun denklemini yazalım.
Doğru \(x\)-eksenini \(a=6\)’da, \(y\)-eksenini \(b=-3\)’te kesiyor. Eksen kesim formülünü kullanalım:
\[ \frac{x}{6} + \frac{y}{-3} = 1 \]
Paydaları eşitlemek için denklemi 6 ile çarpalım:
\[ x – 2y = 6 \]
Bu, d doğrusunun denklemidir.Adım 2: B noktasının koordinatlarını parametrik olarak yazalım.
OABC bir kare ve B köşesi 4. bölgede olduğuna göre, karenin kenar uzunluğuna \(k\) dersek, B noktasının koordinatları \(B(k, -k)\) olur.
Adım 3: B noktasını denklemde yerine yazalım.
B noktası d doğrusunun üzerinde olduğu için, koordinatları doğru denklemini sağlamalıdır. Denklemde \(x\) yerine \(k\), \(y\) yerine \(-k\) yazalım:
\[ k – 2(-k) = 6 \]
\[ k + 2k = 6 \]
\[ 3k = 6 \Rightarrow k = 2 \]
Karenin kenar uzunluğu 2 birimdir. Dolayısıyla B noktasının koordinatları:
\[ B(k, -k) = (2, -2) \]
Özel Doğrular
- Eksenlere Paralel Doğrular:
- \(x\)-eksenine paralel (ve \(y\)-eksenine dik) olan doğruların denklemi \(y = b\) şeklindedir. Bu doğruların eğimi sıfırdır.
- \(y\)-eksenine paralel (ve \(x\)-eksenine dik) olan doğruların denklemi \(x = a\) şeklindedir. Bu doğruların eğimi tanımsızdır.
- Orijinden Geçen Doğrular:
- Orijinden \((0,0)\) geçen doğruların denklemi \(y = mx\) şeklindedir. Sabit terimleri (\(n\)) sıfırdır.
- Açıortay Doğruları:
- I. Açıortay Doğrusu: \(y = x\) doğrusudur. Eğim açısı 45° ve eğimi \(m=1\)’dir.
- II. Açıortay Doğrusu: \(y = -x\) doğrusudur. Eğim açısı 135° ve eğimi \(m=-1\)’dir.
İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları
Analitik düzlemde verilen iki doğru, birbirine göre üç farklı durumda olabilir: kesişir, paralel olur veya çakışık olur. Bu durumları, denklemlerinin katsayılarını oranlayarak belirleyebiliriz.
Doğrularımız \(d_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0\) ve \(d_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0\) olsun.
| Durum | Katsayı İlişkisi | Eğim İlişkisi | Kesişim Noktası |
|---|---|---|---|
| Paralel | \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \) | \( m_1 = m_2 \) | Yok (Boş Küme) |
| Kesişir | \( \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \) | \( m_1 \neq m_2 \) | Tek Nokta |
| Çakışık | \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \) | \( m_1 = m_2 \) | Sonsuz Nokta |
Dik Kesişen Doğrular
Kesişen doğrular için özel bir durum, doğruların birbirini dik (\(90^\circ\)) kesmesidir. Eksenlere paralel olmayan iki doğru dik kesişiyorsa, eğimleri arasında çok özel bir ilişki vardır.
\(d_1 \perp d_2\) ise, eğimleri çarpımı -1’dir.
\[ m_1 \cdot m_2 = -1 \]
Çözüm:
Doğrular dik kesiştiğine göre, eğimleri çarpımı -1 olmalıdır (\(m_1 \cdot m_2 = -1\)).Adım 1: Doğruların eğimlerini bulalım.
\(m = -a/b\) formülünü kullanalım.
\[ m_1 = -\frac{2}{-(a-3)} = \frac{2}{a-3} \]
\[ m_2 = -\frac{a}{1} = -a \]
Adım 2: Eğimler çarpımını -1’e eşitleyelim.
\[ m_1 \cdot m_2 = \left(\frac{2}{a-3}\right) \cdot (-a) = -1 \]
\[ \frac{-2a}{a-3} = -1 \]
\[ -2a = -1 \cdot (a-3) \]
\[ -2a = -a + 3 \]
\[ -a = 3 \]
\[ a = -3 \]
Örneğin, \(y – x – 4 = 0\) ve \(3y – x – 6 = 0\) doğrularının kesişimini bulalım.
Birinci denklemden \(y = x + 4\) elde ederiz. Bunu ikinci denklemde \(y\) yerine yazalım:
\[ 3(x+4) – x – 6 = 0 \]
\[ 3x + 12 – x – 6 = 0 \]
\[ 2x + 6 = 0 \Rightarrow x = -3 \]
Bulduğumuz \(x\) değerini \(y = x+4\) denkleminde yerine koyarsak \(y = -3 + 4 = 1\). Kesişim noktası \((-3, 1)\)’dir.