Çift Fonksiyon

Her \(x\) elemanıdır \(R\) için \( \mathbf{f(-x) = f(x)} \) eşitliği sağlanıyorsa, f fonksiyonu çift fonksiyondur.

Çift fonksiyonların grafikleri y eksenine göre simetriktir. Yani, grafiğin sağ tarafı, y ekseninde bir ayna varmış gibi sol tarafının yansımasıdır.

Tek Fonksiyon

Her \(x\) elemanıdır \(R\) için \( \mathbf{f(-x) = -f(x)} \) eşitliği sağlanıyorsa, f fonksiyonu tek fonksiyondur.

Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir. Yani, grafiği orijin etrafında 180° döndürdüğünüzde, grafik kendisiyle çakışır.

Örnek 1: Grafiklerden Simetriyi Okuma

Aşağıda grafikleri verilen f, g ve h fonksiyonlarının tek ya da çift olma durumlarını belirleyiniz.

y = f(x)

y = g(x)

y = h(x)

Çözüm:

• f fonksiyonu: Grafiğe baktığımızda, y ekseninin solunda ve sağında kalan kısımların birbirinin ayna görüntüsü olduğunu görüyoruz. Örneğin, A(x, y) noktası grafikteyse, B(-x, y) noktası da grafikte. Bu, y eksenine göre simetri demektir. Dolayısıyla, f fonksiyonu çifttir.
• g fonksiyonu: Bu grafikteki herhangi bir E(x, -y) noktasına karşılık, D(-x, y) noktası da grafiğin üzerindedir. Bu durum, orijine göre simetriyi gösterir. Dolayısıyla, g fonksiyonu tektir.
• h fonksiyonu: Grafiği incelediğimizde, ne y eksenine ne de orijine göre bir simetri olmadığını görüyoruz. Bu nedenle, h fonksiyonu ne tek ne de çifttir.

Sınav Tüyosu

Bir fonksiyonun tek mi çift mi olduğunu anlamak için:

1. Cebirsel Yöntem: Fonksiyon kuralında \(x\) yerine \(-x\) yazın.
   • Sonuç orijinal fonksiyonun aynısı \(f(x)\) ise fonksiyon çifttir. (Ör: \(f(x)=x^2 \Rightarrow f(-x)=(-x)^2=x^2\))
   • Sonuç orijinal fonksiyonun negatifi \(-f(x)\) ise fonksiyon tektir. (Ör: \(f(x)=x^3 \Rightarrow f(-x)=(-x)^3=-x^3\))
   • İkisi de değilse, ne tek ne de çifttir.
2. Polinom Fonksiyonlarda Hızlı Kontrol: Sadece çift dereceli terimlerden (ve sabit terimden) oluşuyorsa çift, sadece tek dereceli terimlerden oluşuyorsa tek fonksiyondur.

\( y = f(x) + b \) dönüşümünde:

• \(b > 0\) ise, \(f(x)\) grafiği \(b\) birim yukarı ötelenir.
• \(b < 0\) ise, \(f(x)\) grafiği \(|b|\) birim aşağı ötelenir.

\( y = f(x – a) \) dönüşümünde:

• \(a > 0\) ise (örneğin \(f(x-3)\)), \(f(x)\) grafiği \(a\) birim sağa ötelenir.
• \(a < 0\) ise (örneğin \(f(x+2) = f(x-(-2))\)), \(f(x)\) grafiği \(|a|\) birim sola ötelenir.

Dikkat!

Yatay ötelemede işaretler sezgilerimizin tersi gibi çalışır. \(f(x-a)\) ifadesindeki eksi işareti sağa, artı işareti (\(f(x+a)\)) ise sola kayma anlamına gelir. Bunu aklınızda tutmak için, “fonksiyonun içindeki değişiklikler \(x\) eksenini ters etkiler” diye düşünebilirsiniz.

Örnek 2: Öteleme Uygulaması

\(f(x)\) fonksiyonunun grafiği x eksenini A(-2, 0), B(6, 0) ve C(15, 0) noktalarında kesmektedir. Buna göre \(g(x) = f(x+2)\) fonksiyonunun grafiğinin x eksenini kestiği noktaları bulunuz.

Çözüm:

1. Dönüşümü Tanımla: \(g(x) = f(x+2)\) ifadesi, \(f(x – (-2))\) olarak yazılabilir. Bu, \(a=-2\) demektir ve \(f(x)\) grafiğinin x ekseni boyunca 2 birim sola ötelenmesi anlamına gelir.
2. Noktaları Ötele: Öteleme, grafiğin üzerindeki her noktayı etkiler. Yatay öteleme sadece x koordinatlarını değiştirir. Her bir kesim noktasının apsisinden 2 çıkaracağız.
   • A(-2, 0) noktası \(\rightarrow\) A'(-2 – 2, 0) = A'(-4, 0)
   • B(6, 0) noktası \(\rightarrow\) B'(6 – 2, 0) = B'(4, 0)
   • C(15, 0) noktası \(\rightarrow\) C'(15 – 2, 0) = C'(13, 0)

Sonuç olarak, \(g(x)\) fonksiyonu x eksenini (-4, 0), (4, 0) ve (13, 0) noktalarında keser.

Örnek 3: Kombine Öteleme

Tepe noktası T(1, 0) olan \(y=f(x)\) parabolü verilmiştir. Buna göre \(g(x) = f(x+3) – 2\) fonksiyonunun tepe noktasını bulunuz ve grafiğini çizmeyi düşününüz.

Çözüm:

Bu dönüşümü iki adımda ele alacağız:

1. Adım 1: Yatay Öteleme \( \rightarrow f(x+3) \)
   Bu, \(f(x)\) grafiğinin 3 birim sola kaydırılmasıdır. Orijinal tepe noktamız T(1, 0) idi.

   Yeni tepe noktası: \(T'(1-3, 0) = T'(-2, 0)\).

2. Adım 2: Düşey Öteleme \( \rightarrow f(x+3) – 2 \)
   Bu da bir önceki adımda elde ettiğimiz grafiğin 2 birim aşağı kaydırılmasıdır. \(T'(-2, 0)\) noktasını 2 birim aşağı kaydırıyoruz.

   Nihai tepe noktası: \(T”(-2, 0-2) = T”(-2, -2)\).

\(g(x)\) fonksiyonunun tepe noktası (-2, -2)‘dir.

X Eksenine Göre Yansıma: \( y = -f(x) \)

\(y = -f(x)\) fonksiyonunun grafiği, \(y=f(x)\) grafiğinin x eksenine göre simetriğidir. Grafikteki her (x, y) noktası (x, -y) noktasına dönüşür. Yani, grafiğin üst kısmı alta, alt kısmı üste katlanır.

Y Eksenine Göre Yansıma: \( y = f(-x) \)

\(y = f(-x)\) fonksiyonunun grafiği, \(y=f(x)\) grafiğinin y eksenine göre simetriğidir. Grafikteki her (x, y) noktası (-x, y) noktasına dönüşür. Yani, grafiğin sağ kısmı sola, sol kısmı sağa katlanır. (Bu kuralın çift fonksiyon tanımıyla aynı olduğuna dikkat edin!)

Sınav Tüyosu: Ters Etki Prensibi

Fonksiyonun “dışında” yapılan değişiklikler (\(f(x) \to k \cdot f(x)\) veya \(f(x) \to f(x)+b\)) y eksenini sezgisel olarak etkiler. \(k>1\) ise uzar, \(b>0\) ise yukarı gider.

Ancak fonksiyonun “içinde” yapılan değişiklikler (\(f(x) \to f(k \cdot x)\) veya \(f(x) \to f(x-a)\)) x eksenini ters etkiyle etkiler. \(k>1\) ise daralır, \(-a\) ise sağa gider. Bu prensibi aklınızda tutmak hata yapmanızı önler.

Örnek 4: Karmaşık Dönüşüm

f: \(R \to R\), \(f(x) = x^2 + 2x + 1\) fonksiyonunun grafiğinden yararlanarak \(g(x) = -f(x+3)+2\) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

Çözüm:

Öncelikle temel fonksiyonumuzu tanıyalım. \(f(x) = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2\). Bu, tepe noktası T(-1, 0) olan bir paraboldür. Şimdi dönüşümleri sırayla uygulayalım:

1. Adım 1: Yatay Öteleme \( \rightarrow f(x+3) \)
   \(f(x)\) grafiğini 3 birim sola kaydırırız. Tepe noktası T(-1, 0) idi.

   Yeni tepe noktası: \(T'(-1-3, 0) = T'(-4, 0)\).

   (Bu aşamadaki fonksiyon \(g_1(x) = (x+3+1)^2 = (x+4)^2\))

2. Adım 2: X Eksenine Göre Yansıma \( \rightarrow -f(x+3) \)
   Bir önceki adımda elde ettiğimiz grafiği x eksenine göre yansıtırız. Parabolün kolları yukarıyken aşağı döner. Tepe noktası \(T'(-4, 0)\) x ekseni üzerinde olduğu için yeri değişmez.

   Tepe noktası hala \(T'(-4, 0)\).

   (Bu aşamadaki fonksiyon \(g_2(x) = -(x+4)^2\))

3. Adım 3: Düşey Öteleme \( \rightarrow -f(x+3) + 2 \)
   Son olarak, yansıttığımız grafiği 2 birim yukarı kaydırırız.

   Nihai tepe noktası: \(T”(-4, 0+2) = T”(-4, 2)\).

Böylece \(g(x)\) fonksiyonunun tepe noktası (-4, 2) olan ve kolları aşağıya doğru olan bir parabol olduğunu bulmuş oluruz.

Dönüşüm Sırası İçin Genel Kural

\(y = c \cdot f(k(x-a)) + b\) şeklindeki genel bir dönüşüm için genellikle şu sıra izlenir:

1. Yatay Öteleme (içerideki toplama/çıkarma, \(a\) değeri)
2. Yatay Ölçeklendirme ve Yansıma (x’in katsayısı, \(k\) değeri)
3. Düşey Ölçeklendirme ve Yansıma (fonksiyonun katsayısı, \(c\) değeri)
4. Düşey Öteleme (dışarıdaki toplama/çıkarma, \(b\) değeri)

Bu sıra, “içten dışa” doğru işlem yapmaya benzer ve genellikle en güvenilir yoldur.