Tanım: Çember
Düzlemde sabit bir noktadan (merkez) eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesine çember denir.

• Bu sabit noktaya çemberin merkezi (O) denir.
• Merkez ile çember üzerindeki herhangi bir noktayı birleştiren doğru parçasına yarıçap (r) denir.
• Merkezden geçen ve çember üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru parçasına çap (R veya 2r) denir. Çap, en uzun kiriştir.

Sınav İpucu: Teğetin Altın Kuralı

Bir çemberin merkezini teğetin değme noktasına birleştiren yarıçap, teğet doğrusuna her zaman diktir. Bu özellik, teğet sorularının %90’ında kilit rol oynar! Yani, teğet ve yarıçap gördüğünüzde aklınıza hemen 90 derecelik açı gelmeli.

\( [OA] \perp d \)

Merkezin doğruya uzaklığı \(h\), yarıçap \(r\) olmak üzere:

1. Eğer \(h < r\) ise, doğru çemberi iki farklı noktada keser (Kesen).
2. Eğer \(h = r\) ise, doğru çembere bir noktada değer (Teğet).
3. Eğer \(h > r\) ise, doğru çemberi kesmez.

Örnek 1

Analitik düzlemde verilen M merkezli çember, x eksenine \(A(x+3, 0)\) noktasında teğettir. Çemberin yarıçap uzunluğu \(r = (6x – 7)\) birimdir ve çember y eksenini kesmemektedir. Buna göre r’nin alabileceği en büyük tam sayı değerini bulunuz.

Çözüm Adımları:

1. Verileri Analiz Edelim:
   • Çember x eksenine teğet ise, merkezin y koordinatının mutlak değeri yarıçapa eşittir. Bu soruda bu bilgi doğrudan kullanılmıyor ama aklımızda bulunsun.
   • Çember y eksenini kesmiyor. Bu, çemberin merkezinin y eksenine olan uzaklığının (h), yarıçaptan (r) büyük olduğu anlamına gelir. \(h > r\).
   • Çemberin merkezi M’nin apsisi \(x+3\)’tür. Dolayısıyla merkezin y eksenine olan uzaklığı \(h = |x+3|\) birimdir. Sorudaki şekle göre merkez 1. bölgede olduğu için \(h = x+3\) alabiliriz.
2. Eşitsizlikleri Kuralım:
   • Birinci Şart: \(h > r \Rightarrow x+3 > 6x-7\). Bu eşitsizliği çözelim:
     \[ 3+7 > 6x – x \Rightarrow 10 > 5x \Rightarrow 2 > x \]
   • İkinci Şart: Yarıçap uzunluğu her zaman pozitif olmalıdır. \(r > 0 \Rightarrow 6x-7 > 0\). Bu eşitsizliği çözelim:
     \[ 6x > 7 \Rightarrow x > \frac{7}{6} \]
3. Sonuca Ulaşalım:Elimizde \(x\) için bir aralık var: \( \frac{7}{6} < x < 2 \). Bizden istenen \(r\)’nin en büyük tam sayı değeri. \(r\)’yi \(x\) cinsinden biliyoruz: \(r = 6x – 7\). Bu aralığı kullanarak \(r\) için bir aralık oluşturalım:

   Önce eşitsizliğin her tarafını 6 ile çarpalım:

   \[ 6 \cdot \frac{7}{6} < 6 \cdot x < 6 \cdot 2 \Rightarrow 7 < 6x < 12 \]

   Şimdi her taraftan 7 çıkaralım:

   \[ 7 – 7 < 6x – 7 < 12 – 7 \Rightarrow 0 < r < 5 \]

   Bu sonuca göre, yarıçap (r) 0 ile 5 arasındadır. Bu aralıktaki en büyük tam sayı 4‘tür.

Temel Kiriş Özelliği

Çemberin merkezinden bir kirişe indirilen dikme, o kirişi iki eşit parçaya böler (ortalar).

Tersine, bir kirişin orta dikmesi (kenar orta dikme doğrusu) her zaman çemberin merkezinden geçer.

Sınav İpucu: Kiriş ve Dikme İkilisi

Bir çember sorusunda kiriş uzunluğu verildiyse, yapacağınız ilk hamle hemen merkezden o kirişe bir dikme indirmek olmalıdır. Bu dikme, kirişi ikiye böler ve size her zaman bir dik üçgen kazandırır. Bu dik üçgenin hipotenüsü de yarıçap olacaktır! Bu yöntemle sayısız soruyu çözebilirsiniz.

Örnek 2

O merkezli bir çemberde [KL] bir kiriştir. M noktası [KL] kirişi üzerinde olmak üzere, \(|KM|=3\) cm, \(|LM|=11\) cm ve merkezin M noktasına uzaklığı \(|OM|= 4\sqrt{2}\) cm ise çemberin yarıçap uzunluğunu bulunuz.

Çözüm Adımları:

1. Planlama: Kiriş ve merkez var. Hemen merkezden kirişe dikme indireceğiz! Bu dikme ayağına H diyelim. Bu bize iki tane dik üçgen verecek: \(\triangle OHM\) ve \(\triangle OHL\). Yarıçapı bulmak için \(\triangle OHL\)’yi kullanacağız.
2. Kirişi Ortala: [KL] kirişinin toplam uzunluğu \(|KL| = |KM| + |LM| = 3 + 11 = 14\) cm’dir. Merkezden indirilen [OH] dikmesi bu kirişi ortalar:
   \[ |KH| = |HL| = \frac{14}{2} = 7 \text{ cm} \]
3. İlk Dik Üçgeni Kullan (\(\triangle OHM\)): \(H\) noktasının yerini bulduk. Şimdi \(|MH|\) uzunluğunu hesaplayabiliriz:
   \[ |MH| = |KH| – |KM| = 7 – 3 = 4 \text{ cm} \]
   Artık \(\triangle OHM\) üçgeninde Pisagor teoremini uygulayabiliriz. Hipotenüs \(|OM| = 4\sqrt{2}\), dik kenarlar \(|MH|=4\) ve \(|OH|\)’dır.
   \[ |OM|^2 = |OH|^2 + |MH|^2 \]
   \[ (4\sqrt{2})^2 = |OH|^2 + 4^2 \]
   \[ 32 = |OH|^2 + 16 \Rightarrow |OH|^2 = 16 \Rightarrow |OH| = 4 \text{ cm} \]
4. İkinci Dik Üçgeni Kullan (\(\triangle OHL\)) ve Yarıçapı Bul: Şimdi yarıçapı bulmak için \(\triangle OHL\) üçgenini kullanalım. Bu üçgenin hipotenüsü [OL], çemberin yarıçapıdır (r). Dik kenarları \(|OH|=4\) cm ve \(|HL|=7\) cm’dir.
   \[ r^2 = |OL|^2 = |OH|^2 + |HL|^2 \]
   \[ r^2 = 4^2 + 7^2 = 16 + 49 = 65 \]
   \[ r = \sqrt{65} \text{ cm} \]
   Böylece çemberin yarıçapını \(\sqrt{65}\) cm olarak buluruz.

Kiriş Uzunluğu ve Merkeze Uzaklık

• Bir çemberde eşit uzunluktaki kirişler, merkeze eşit uzaklıktadır.
• Bir çemberde uzun olan kiriş, merkeze daha yakındır.

\( |AB| = |CD| \iff |OK| = |OL| \)

\( |AB| > |CD| \iff |OK| < |OL| \)

Örnek 3

O merkezli dairesel bir çim alana doğrusal su boruları döşenecektir. A, B, C noktaları çember üzerindedir. B ve C noktaları arasındaki [BC] borusu, merkeze A ve B noktaları arasındaki [AB] borusundan daha yakındır. \(|BC|= (10x-7)\) metre ve \(|AB|= (6x+21)\) metre ise, döşenecek boruların toplam uzunluğunun alabileceği en küçük tam sayı değeri kaç metredir?

Çözüm Adımları:

1. Kuralı Uygula: [BC] borusu merkeze daha yakınsa, [BC] kirişi [AB] kirişinden daha uzundur.
   \[ |BC| > |AB| \]
2. Eşitsizliği Çöz: Verilen ifadeleri yerine yazalım ve x için aralığı bulalım.
   \[ 10x – 7 > 6x + 21 \]
   \[ 10x – 6x > 21 + 7 \]
   \[ 4x > 28 \Rightarrow x > 7 \]
3. Toplam Uzunluğu Bul: Bizden istenen, boruların toplam uzunluğunun minimum tam sayı değeri. Toplam Uzunluk (T):
   \[ T = |BC| + |AB| = (10x-7) + (6x+21) = 16x + 14 \]
4. Toplam Uzunluk İçin Aralık Oluştur: \(x > 7\) olduğunu biliyoruz. Bu bilgiyi kullanarak T için bir alt sınır bulalım.Eşitsizliğin her iki tarafını 16 ile çarpalım:

   \[ 16x > 16 \cdot 7 \Rightarrow 16x > 112 \]

   Şimdi her iki tarafa 14 ekleyelim:

   \[ 16x + 14 > 112 + 14 \Rightarrow T > 126 \]

5. Sonuca Ulaş: Toplam uzunluk (T) 126 metreden büyük olmalıdır. Bu koşulu sağlayan en küçük tam sayı 127‘dir.

Bir Noktadan Geçen Kirişler

Çemberin içindeki bir A noktasından geçen:

• En uzun kiriş, o noktadan geçen çaptır.
• En kısa kiriş, o noktadan geçen ve çapa dik olan kiriştir.

Örnek 4

Şekilde O merkezli çemberin iç bölgesindeki A noktasından çizilen en kısa kirişin uzunluğu 12 birim, B noktasından geçen en uzun kirişin uzunluğu \(6\sqrt{5}\) birimdir. Buna göre \(|OA|\) uzunluğu kaç birimdir?

Çözüm Adımları:

1. En Uzun Kirişi Yorumla: Bir noktadan geçen en uzun kiriş çaptır. Dolayısıyla, B noktasından geçen en uzun kiriş olan çapın uzunluğu \(6\sqrt{5}\) birimdir.
   \[ \text{Çap} = 2r = 6\sqrt{5} \Rightarrow \text{Yarıçap} = r = 3\sqrt{5} \text{ birim} \]
2. En Kısa Kirişi Yorumla: A noktasından geçen en kısa kiriş, [OA] yarıçapına dik olan kiriştir. Bu kirişe [CD] diyelim. [OA] doğrusu, [CD] kirişine dik olduğu için onu ortalar.
   \[ |CD| = 12 \text{ birim} \Rightarrow |CA| = |AD| = \frac{12}{2} = 6 \text{ birim} \]
3. Dik Üçgeni Kur ve Çöz: O noktasını C noktasına birleştirelim. [OC], çemberin yarıçapıdır. Böylece \(\triangle OAC\) dik üçgenini elde ederiz.
   • Hipotenüs: \(|OC| = r = 3\sqrt{5}\)
   • Dik Kenar: \(|AC| = 6\)
   • Dik Kenar: \(|OA|\) (aradığımız uzunluk)

   Pisagor Teoremini uygulayalım:

   \[ |OC|^2 = |OA|^2 + |AC|^2 \]
   \[ (3\sqrt{5})^2 = |OA|^2 + 6^2 \]
   \[ 45 = |OA|^2 + 36 \]
   \[ |OA|^2 = 45 – 36 = 9 \]
   \[ |OA| = 3 \text{ birim} \]