1.2.1. Birim Çember ve Trigonometrik Fonksiyonlar
Merhaba sevgili Matokul öğrencisi! Trigonometri dünyasına heyecan verici bir giriş yapıyoruz. Daha önceki yıllarda dik üçgen kullanarak 90 dereceden küçük açıların trigonometrik oranlarını (sinüs, kosinüs vb.) bulmayı öğrendik. Peki, 150°, 240° veya -30° gibi açıların trigonometrik değerlerini nasıl hesaplarız? İşte bu noktada, tüm trigonometrinin kalbi olan Birim Çember devreye giriyor!
Analitik düzlemde, merkezi orijin (0,0) ve yarıçapı 1 birim olan çembere birim çember denir.
Birim çemberin denklemi: \(x^2 + y^2 = 1\)’dir.
Birim çember üzerindeki her bir nokta, bize bir açının trigonometrik değerlerini verir. Açıları, x-ekseninin pozitif tarafından (başlangıç kenarı) başlayarak ölçeriz. Saatin tersi yön pozitif yön, saat yönü ise negatif yön olarak kabul edilir.
Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonları
Birim çember üzerinde pozitif yönlü bir \( \alpha \) açısının bitim kolunun çemberi kestiği nokta \( P(x, y) \) olsun. Bu noktanın koordinatları, bize o açının kosinüs ve sinüs değerlerini verir.
P noktasının ordinatı (y değeri) \( \alpha \) açısının sinüsüdür: \( y = \sin\alpha \)
Bu tanımdan dolayı, x-eksenine kosinüs ekseni, y-eksenine ise sinüs ekseni denir. Birim çember üzerindeki her \(P(\cos\alpha, \sin\alpha)\) noktası çemberin denklemi olan \(x^2 + y^2 = 1\)’i sağlamak zorundadır. Bu da bizi trigonometrinin en temel ve en önemli özdeşliğine götürür:
\[ \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 \]
Birim çemberin yarıçapı 1 olduğu için, çember üzerindeki bir noktanın x ve y değerleri asla -1’den küçük veya 1’den büyük olamaz. Bu da sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının değer aralığını belirler:
\[ -1 \le \cos\alpha \le 1 \]
\[ -1 \le \sin\alpha \le 1 \]
Örnek 1
Merkezi O ve yarıçapı 1 birim olan birim çember verilmiştir. Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayalım:
a) \(a \in \mathbb{R}\) olmak üzere \(K(a, \frac{\sqrt{3}}{2})\) noktası birim çember üzerinde olduğuna göre \(a\) gerçek sayısını bulunuz.
Çözüm:
Nokta birim çember üzerinde ise, denklemi sağlamalıdır: \(x^2 + y^2 = 1\).
\( a^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 \)
\( a^2 + \frac{3}{4} = 1 \)
\( a^2 = 1 – \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \)
Buradan \( a = \frac{1}{2} \) veya \( a = -\frac{1}{2} \) bulunur. Her iki değer de mümkündür.
Örnek 2
\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 3\sin x + 1\) biçimindeki f fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.
Çözüm:
Bu tür sorularda, sinüs veya kosinüs fonksiyonunun temel aralığından yola çıkarız.
Adım 1: sinx’in temel aralığını yazalım.
\( -1 \le \sin x \le 1 \)
Adım 2: İfadeyi \(3\sin x\)’e benzetmek için eşitsizliğin her tarafını 3 ile çarpalım.
\( 3 \cdot (-1) \le 3 \cdot \sin x \le 3 \cdot 1 \)
\( -3 \le 3\sin x \le 3 \)
Adım 3: İfadeyi \(3\sin x + 1\)’e benzetmek için eşitsizliğin her tarafına 1 ekleyelim.
\( -3 + 1 \le 3\sin x + 1 \le 3 + 1 \)
\( -2 \le 3\sin x + 1 \le 4 \)
Sonuç: \(f(x)\) fonksiyonunun alabileceği değerler -2 ve 4 dahil olmak üzere bu aralıktaki tüm reel sayılardır. Görüntü kümesi \( [-2, 4] \)’tür.
Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonları
Sinüs ve kosinüs gibi, tanjant ve kotanjant da birim çember yardımıyla tanımlanır. Bunun için birim çembere teğet olan iki özel doğrudan faydalanırız:
- Tanjant Ekseni: \( x=1 \) doğrusu.
- Kotanjant Ekseni: \( y=1 \) doğrusu.
Bir \( \alpha \) açısının bitim kolunun uzantısının;
- \(x=1\) (tanjant) eksenini kestiği noktanın ordinatına o açının tanjantı denir. (\( \tan\alpha \))
- \(y=1\) (kotanjant) eksenini kestiği noktanın apsisine o açının kotanjantı denir. (\( \cot\alpha \))
Ayrıca, benzer üçgenlerden şu önemli oranlar elde edilir:
\[ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \quad (\cos\alpha \neq 0) \]
\[ \cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \quad (\sin\alpha \neq 0) \]
Bu iki ifadeden de şu sonuç çıkar:
\[ \tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1 \]
Bir kesrin paydası 0 olamayacağı için:
- \(\cos\alpha = 0\) olduğunda (\(90^\circ, 270^\circ, …\)) tanjant tanımsızdır.
- \(\sin\alpha = 0\) olduğunda (\(0^\circ, 180^\circ, 360^\circ, …\)) kotanjant tanımsızdır.
Örnek 3
Tanımlı olduğu aralıkta \( \cos x – \sin x = \frac{2}{5} \) olduğuna göre \( \cos x \cdot \sin x \) değerini bulunuz.
Çözüm:
Bu soru tipi bir klasiktir! \( \sin x \pm \cos x \) ifadesi verilip \( \sin x \cdot \cos x \) çarpımı sorulduğunda, yapmamız gereken ilk şey verilen ifadenin karesini almaktır. Çünkü kare alma işlemi hem \( \sin^2x \) ve \( \cos^2x \)’i (toplamları 1’dir) hem de aradığımız \( 2\sin x \cos x \) ifadesini ortaya çıkarır.
Adım 1: Eşitliğin her iki tarafının karesini alalım.
\( (\cos x – \sin x)^2 = (\frac{2}{5})^2 \)
Adım 2: Sol tarafın tam kare açılımını yapalım.
\( \cos^2x – 2\cos x \sin x + \sin^2x = \frac{4}{25} \)
Adım 3: \( \cos^2x + \sin^2x = 1 \) özdeşliğini kullanalım.
\( (\cos^2x + \sin^2x) – 2\cos x \sin x = \frac{4}{25} \)
\( 1 – 2\cos x \sin x = \frac{4}{25} \)
Adım 4: \( \cos x \sin x \) ifadesini yalnız bırakalım.
\( 1 – \frac{4}{25} = 2\cos x \sin x \)
\( \frac{21}{25} = 2\cos x \sin x \)
\( \cos x \sin x = \frac{21}{50} \)
Sekant ve Kosekant Fonksiyonları
Sekant ve kosekant, sırasıyla kosinüs ve sinüs fonksiyonlarının çarpmaya göre tersleridir.
\[ \sec\alpha = \frac{1}{\cos\alpha} \quad (\cos\alpha \neq 0) \]
\[ \csc\alpha \text{ veya } \text{cosec}\alpha = \frac{1}{\sin\alpha} \quad (\sin\alpha \neq 0) \]
Bu tanımlardan ve temel \( \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 \) özdeşliğinden iki yeni ve çok kullanışlı özdeşlik daha türetebiliriz.
1. \( \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 \) eşitliğinin her terimini \( \cos^2\alpha \)’ya bölelim:
\( \frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} + \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{1}{\cos^2\alpha} \Rightarrow 1 + \tan^2\alpha = \sec^2\alpha \)
2. \( \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 \) eşitliğinin her terimini \( \sin^2\alpha \)’ya bölelim:
\( \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} + \frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{1}{\sin^2\alpha} \Rightarrow \cot^2\alpha + 1 = \csc^2\alpha \)
Temel Trigonometrik Özdeşlikler Tablosu
| Özdeşlik Türü | Formül |
|---|---|
| Pisagor Özdeşliği | \( \sin^2x + \cos^2x = 1 \) |
| Oran Özdeşlikleri | \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \), \( \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \) |
| Çarpma Tersi Özdeşlikleri | \( \sec x = \frac{1}{\cos x} \), \( \csc x = \frac{1}{\sin x} \) |
| Tanjant-Kotanjant İlişkisi | \( \tan x \cdot \cot x = 1 \) |
| Türetilmiş Pisagor Özdeşlikleri | \( 1 + \tan^2x = \sec^2x \) \( 1 + \cot^2x = \csc^2x \) |
Örnek 4
Tanımlı olduğu aralıkta \( \sec^2x – \tan^2x \) ifadesinin en sade hâlini bulunuz.
Çözüm:
Bu soruyu çözmenin iki yolu vardır. İkisi de çok basittir.
1. Yol (Özdeşliği kullanarak):
Yukarıda türettiğimiz \( 1 + \tan^2x = \sec^2x \) özdeşliğini hatırlayalım.
Bu eşitlikte \( \tan^2x \)’i sağ tarafa atarsak:
\( 1 = \sec^2x – \tan^2x \)
Dolayısıyla ifadenin en sade hâli 1’dir.
2. Yol (Temel tanımları kullanarak):
\( \sec x \) ve \( \tan x \)’in temel tanımlarını yerine yazalım.
\( \sec^2x – \tan^2x = (\frac{1}{\cos x})^2 – (\frac{\sin x}{\cos x})^2 \)
\( = \frac{1}{\cos^2x} – \frac{\sin^2x}{\cos^2x} \)
Paydalar aynı olduğu için payları çıkarabiliriz:
\( = \frac{1 – \sin^2x}{\cos^2x} \)
\( \sin^2x + \cos^2x = 1 \) özdeşliğinden \( 1 – \sin^2x = \cos^2x \) olduğunu biliyoruz.
\( = \frac{\cos^2x}{\cos^2x} = 1 \)
Trigonometrik ifadeleri sadeleştirme sorularında genel strateji şudur:
- İfadeyi olabildiğince sinüs ve kosinüs cinsinden yazın. (tan, cot, sec, csc yerine sin ve cos’lu karşılıklarını kullanın).
- Payda eşitleme, ortak paranteze alma gibi temel cebirsel işlemleri yapın.
- Son adımda \( \sin^2x + \cos^2x = 1 \) özdeşliğini kullanarak sonuca ulaşın. Bu özdeşlik neredeyse her sadeleştirme sorusunun kilit noktasıdır!