Written By Matokul

Makale İçeriği

Çemberde Açılar

Merhaba sevgili Matokul öğrencisi! Çember ve daire konusunun en temel ve en çok soru gelen bölümlerinden biri olan ‘Çemberde Açılar’ konusuna hoş geldin. Bu konuda, bir çember üzerindeki yaylar ve bu yayları gören açı türleri arasındaki ilişkileri öğreneceğiz. Açıların köşelerinin nerede olduğuna (merkezde, çemberin üzerinde, içinde veya dışında) dikkat ederek tüm kuralları kolayca kavrayabilirsin. Hazırsan, başlayalım!

1. Merkez Açı

Adından da anlaşılacağı gibi, merkez açı, köşesi çemberin merkezinde bulunan açıdır. Kollarını oluşturan ışınlar ise çemberin yarıçaplarıdır.

Merkez açının en temel ve en önemli özelliği, ölçüsünün gördüğü yayın ölçüsüne birebir eşit olmasıdır. Bu, diğer tüm açı türleri için bir referans noktası olacaktır.

Merkez Açı Kuralı
Bir merkez açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.
\( m(\angle AOB) = m(\widehat{AB}) \)

Örnek 1

O merkezli bir çemberde, \( m(\widehat{ACB}) = 250^\circ \) ve \( m(\angle AOB) = 4x – 10^\circ \) olarak veriliyor. Buna göre x’in değeri kaçtır?

Çözüm Adımları:

Tam Çemberi Anlamak: Bir çemberin tamamının yay ölçüsü \(360^\circ\)’dir. Çember, \( \widehat{AB} \) yayı (küçük yay) ve \( \widehat{ACB} \) yayı (büyük yay) olmak üzere iki parçaya ayrılmıştır.
Küçük Yayı Bulmak: Bu iki yayın toplamı \(360^\circ\) olmalıdır.
\[ m(\widehat{AB}) + m(\widehat{ACB}) = 360^\circ \]
\[ m(\widehat{AB}) + 250^\circ = 360^\circ \]
\[ m(\widehat{AB}) = 360^\circ – 250^\circ = 110^\circ \]
Merkez Açı Kuralını Uygulamak: \( \angle AOB \) bir merkez açıdır ve \( \widehat{AB} \) yayını görmektedir. Kuralımıza göre, merkez açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.
\[ m(\angle AOB) = m(\widehat{AB}) \]
\[ 4x – 10^\circ = 110^\circ \]
Denklemi Çözmek:
\[ 4x = 120^\circ \]
\[ x = 30^\circ \]

İlgili Kural: Eşit Kirişler, Eşit Yaylar
Bir çemberde, uzunlukları eşit olan kirişlerin ayırdığı yayların ölçüleri de birbirine eşittir.
Eğer \( |AB| = |CD| \) ise, \( m(\widehat{AB}) = m(\widehat{CD}) \) olur.

2. Çevre Açı

Çevre açı, köşesi çemberin çevresi üzerinde bulunan ve kollarını çemberin kirişleri oluşturan açıdır. Geometride en sık karşımıza çıkan açı türlerinden biridir.

Çevre açının kuralı, merkez açıdan farklıdır. Ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısıdır.

Çevre Açı Kuralı
Bir çevre açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.
\( m(\angle ABC) = \frac{m(\widehat{AC})}{2} \)

Sınav Tüyosu: Merkez Açı ve Çevre Açı İlişkisi
Eğer bir merkez açı ile bir çevre açı aynı yayı görüyorsa, çevre açının ölçüsü merkez açının ölçüsünün yarısıdır. Bu ilişki soruları çözmede sana büyük hız kazandırır!
\( m(\angle ABC) = \frac{m(\angle AOC)}{2} \)

Çevre Açının Önemli Sonuçları

1. Aynı Yayı Gören Çevre Açılar: Bir çemberde aynı yayı gören tüm çevre açıların ölçüleri birbirine eşittir. Bu özellik, dört noktanın çembersel (aynı çember üzerinde) olduğunu kanıtlamada sıkça kullanılır.

Örnek 2

Şekildeki çember üzerinde A, B, C, D noktaları verilmiştir. \( \angle DAC \) ve \( \angle DBC \) çevre açıları \( \widehat{DC} \) yayını görmektedir. \( m(\angle DAC) = 65^\circ \) ve \( m(\angle DBC) = 4x – 15^\circ \) ise x kaçtır?

Çözüm Adımları:

Açıları Tanımlamak: Hem \( \angle DAC \) hem de \( \angle DBC \) birer çevre açıdır.
Gördükleri Yayı Tespit Etmek: Her iki açının da kolları D ve C noktalarında son buluyor. Dolayısıyla ikisi de \( \widehat{DC} \) yayını görmektedir.
Kuralı Uygulamak: “Aynı yayı gören çevre açıların ölçüleri eşittir” kuralını kullanırız.
\[ m(\angle DAC) = m(\angle DBC) \]
\[ 65^\circ = 4x – 15^\circ \]
Denklemi Çözmek:
\[ 65 + 15 = 4x \]
\[ 80 = 4x \]
\[ x = 20^\circ \]

2. Çapı Gören Çevre Açı: Bu, çemberde açılar konusunun en önemli kurallarından biridir ve sınavlarda sıkça karşına çıkar. Bir çevre açının gördüğü yay bir yarım çember ise (yani açı çapı görüyorsa), o açının ölçüsü daima 90°’dir.

Çapı Gören Çevre Açı Kuralı
Eğer [AC] çapsa, \( m(\widehat{ABC}) = 180^\circ \) olur.
Bu yayı gören \( \angle ABC \) çevre açısının ölçüsü:
\( m(\angle ABC) = \frac{m(\widehat{AC})}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ \)

Örnek 3

O merkezli çemberde [AC] çaptır. \( 2 \cdot m(\angle BAC) = 3 \cdot m(\angle ACB) \) olduğuna göre \( m(\widehat{BC}) \) kaç derecedir?

Çözüm Adımları:

Kilit Bilgiyi Kullanmak: [AC] çap olduğu için, çapı gören \( \angle ABC \) çevre açısı \( 90^\circ \)’dir. Yani \( \triangle ABC \) bir dik üçgendir.
Orantıdan Açılara Geçmek: Verilen orantıyı bir kat (k) veya (x) cinsinden yazalım. Eşitliğin sağlanması için:
\( m(\angle BAC) = 3x \) ve \( m(\angle ACB) = 2x \) diyebiliriz.
Üçgenin İç Açıları Toplamı: Bir üçgenin iç açıları toplamı \(180^\circ\)’dir.
\[ m(\angle BAC) + m(\angle ACB) + m(\angle ABC) = 180^\circ \]
\[ 3x + 2x + 90^\circ = 180^\circ \]
Denklemi Çözmek:
\[ 5x = 90^\circ \]
\[ x = 18^\circ \]
İstenen Yayı Bulmak: Soru bizden \( m(\widehat{BC}) \)’yi istiyor. Bu yayı gören çevre açı \( \angle BAC \)’dir.
Önce \( m(\angle BAC) \)’yi bulalım: \( m(\angle BAC) = 3x = 3 \cdot 18^\circ = 54^\circ \).
Çevre açı kuralına göre, yayın ölçüsü açının iki katıdır:
\[ m(\widehat{BC}) = 2 \cdot m(\angle BAC) = 2 \cdot 54^\circ = 108^\circ \]

3. Teğet-Kiriş Açı

Bu açı türü, adından da anlaşılacağı gibi, bir teğet doğrusu ile teğetin çembere değdiği noktadan geçen bir kiriş arasında oluşur. Köşesi çember üzerindedir.

Teğet-kiriş açının kuralı, çevre açı ile tamamen aynıdır! Ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısıdır.

Teğet-Kiriş Açı Kuralı
Bir teğet-kiriş açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.
\( m(\angle CAB) = \frac{m(\widehat{AB})}{2} \)

Sınav Tüyosu: Bir çemberde, aynı yayı gören teğet-kiriş açı ile çevre açının ölçüleri birbirine eşittir. Bu bilgi, sorularda gizlenmiş eşitlikleri bulmanı sağlar.

4. İç Açı

Köşesi çemberin iç bölgesinde olan ve iki kirişin kesişmesiyle oluşan açıya iç açı denir. Merkez açı ile karıştırılmamalıdır, köşesi merkezde olmak zorunda değildir.

İç açının ölçüsü, gördüğü yay ile tersindeki (dikey açısının gördüğü) yayın ölçüleri toplamının yarısına eşittir.

İç Açı Kuralı
\( \alpha \) iç açısının ölçüsü:
\( m(\angle AED) = \alpha = \frac{m(\widehat{AD}) + m(\widehat{BC})}{2} \)

Örnek 4

Bir çemberde [AC] ve [DB] kirişleri E noktasında kesişmektedir. \( m(\widehat{BC}) = 50^\circ \) ve \( m(\angle AEB) = 66^\circ \) ise \( m(\angle DBA) \) kaç derecedir?

Çözüm Adımları:

Soru bizden \( m(\angle DBA) \)’yı istiyor. Bu bir çevre açıdır ve \( \widehat{AD} \) yayını görmektedir. Çevre açı kuralını uygulayalım:
\[ m(\angle DBA) = \frac{m(\widehat{AD})}{2} = \frac{178^\circ}{2} = 89^\circ \]
(Not: PDF’teki çözümde farklı değerler kullanılmıştır, bu çözüm verilen PDF’teki 12. Örneğe göre değil, sorunun metnine göre yapılmıştır. PDF’teki örnekte m(BDC)=50 derece verilmiş. O soruya göre çözüm: \(m(BC) = 2 \cdot 50 = 100^\circ\). \(114^\circ = \frac{m(AD)+100}{2} \Rightarrow m(AD)=128^\circ \). \(m(\angle DBA) = 128/2 = 64^\circ\))

5. Dış Açı

Köşesi çemberin dış bölgesinde bulunan ve kollarının çembere teğet veya çemberi kesen doğrulardan oluşan açıya dış açı denir.

Dış açının ölçüsü, gördüğü iki yayın ölçülerinin farkının yarısına eşittir. Her zaman büyük yaydan küçük yay çıkarılır.

Dış Açı Kuralı
\( \alpha \) dış açısının ölçüsü:
\( \alpha = \frac{m(\text{Uzak Yay}) – m(\text{Yakın Yay})}{2} \)

Çok Önemli Özel Durum: İki Teğet Arasındaki Açı
Eğer dış açının kolları çembere teğet ise, dış açı ile gördüğü yakın yayın ölçüleri toplamı \(180^\circ\)’dir.
\( m(\angle P) + m(\widehat{AB}_{\text{yakın}}) = 180^\circ \)

Bu kural, sayısız soruyu saniyeler içinde çözmeni sağlar!

Örnek 5

D noktasından çembere [DA ve [DC teğetleri çizilmiştir. \( m(\angle AOC) + m(\angle ABC) = 186^\circ \) ise \( m(\angle ADC) \) dış açısı kaç derecedir?

Çözüm Adımları:

Açıları İlişkilendirmek: \( \angle ABC \) bir çevre açı, \( \angle AOC \) ise bir merkez açıdır. Her ikisi de \( \widehat{AC} \) yayını görmektedir. (Burada \( \angle ABC \)’nin küçük yayı, \( \angle AOC \)’nin de bu yayın merkez açısı olduğu varsayılır). Öyleyse \( m(\angle AOC) = 2 \cdot m(\angle ABC) \)’dir.
Verilen Denklemde Yerine Koyma: \( m(\angle ABC) = x \) diyelim. Bu durumda \( m(\angle AOC) = 2x \) olur.
\[ m(\angle AOC) + m(\angle ABC) = 186^\circ \]
\[ 2x + x = 186^\circ \Rightarrow 3x = 186^\circ \Rightarrow x = 62^\circ \]
Yay Ölçüsünü Bulmak: \( m(\angle ABC) = 62^\circ \) olduğuna göre, bu çevre açının gördüğü küçük \( \widehat{AC} \) yayının ölçüsü:
\[ m(\widehat{AC}) = 2 \cdot 62^\circ = 124^\circ \]
Dış Açı Özel Kuralını Uygulamak: \( \angle ADC \) dış açısının kolları teğet olduğu için, bu açı ile gördüğü yakın yayın (\( \widehat{AC} \)) toplamı \( 180^\circ \)’dir.
\[ m(\angle ADC) + m(\widehat{AC}) = 180^\circ \]
\[ m(\angle ADC) + 124^\circ = 180^\circ \]
\[ m(\angle ADC) = 180^\circ – 124^\circ = 56^\circ \]