Eksenleri Kesim Noktalarını Bulma Kuralları

• x eksenini kestiği noktaları (kökleri) bulmak için: Fonksiyonun kuralını sıfıra eşitleriz, yani \(y = f(x) = 0\) denklemini çözeriz. Bu denklemin her bir reel kökü, grafiğin x eksenini kestiği bir noktanın apsisidir.
• y eksenini kestiği noktayı bulmak için: Fonksiyonun kuralında \(x\) gördüğümüz her yere 0 yazarız, yani \(y = f(0)\) değerini hesaplarız. Sonuç, grafiğin y eksenini kestiği noktanın ordinatıdır. Bir fonksiyonun grafiği y eksenini en fazla bir noktada kesebilir.

Örnek 1

f: \( \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \(f(x) = x^3 + x^2 – 6x\) biçimindeki f fonksiyonunun grafiğinin eksenleri kestiği noktaları bulunuz.

Çözüm:

Adım adım gidelim:

1. y eksenini kestiği nokta (x=0 için):

Fonksiyon kuralında \(x\) yerine 0 yazalım:

\[ y = f(0) = 0^3 + 0^2 – 6(0) = 0 \]

Bu, grafiğin y eksenini \(y=0\) değerinde kestiğini gösterir. Nokta olarak koordinatı \( (0,0) \), yani orijindir.

2. x eksenini kestiği noktalar (y=0 için):

Fonksiyon kuralını 0’a eşitleyelim:

\[ x^3 + x^2 – 6x = 0 \]

Bu denklemi çözmek için önce ortak çarpan parantezine alalım. Tüm terimlerde \(x\) var:

\[ x(x^2 + x – 6) = 0 \]

Şimdi parantez içindeki ikinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım. Çarpımları -6, toplamları +1 olan iki sayı arıyoruz. Bunlar +3 ve -2’dir.

\[ x(x+3)(x-2) = 0 \]

Bir çarpımın sonucunun sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir. Bu durumda üç ihtimal var:

• \( x_1 = 0 \)
• \( x+3 = 0 \Rightarrow x_2 = -3 \)
• \( x-2 = 0 \Rightarrow x_3 = 2 \)

Böylece x eksenini kesen noktaların apsislerini bulduk: 0, -3 ve 2. Koordinatları yazarsak:

Sonuç: Fonksiyon grafiği eksenleri \( O(0,0) \), \( A(-3,0) \) ve \( B(2,0) \) noktalarında keser.

Pozitif ve Negatif Aralıklar

• Pozitif Aralıklar: \(f(x) > 0\) olduğu aralıklardır. Bu aralıklarda fonksiyonun grafiği x ekseninin üzerinde kalır.
• Negatif Aralıklar: \(f(x) < 0\) olduğu aralıklardır. Bu aralıklarda fonksiyonun grafiği x ekseninin altında kalır.
• x eksenini kestiği noktalar (kökler), fonksiyonun pozitiflikten negatifliğe veya negatiflikten pozitifliğe geçtiği “sınır” noktalardır.

Örnek 2

Gerçek sayılarda tanımlı f fonksiyonunun grafiği x eksenini \(A(-2,0)\) ve \(B(11,0)\) noktalarında kesmektedir. \(f(x) > 0\) eşitsizliğini sağlayan x tam sayı değerlerinin toplamını bulunuz.

Çözüm:

\(f(x) > 0\) demek, fonksiyonun grafiğinin x ekseninin üzerinde olduğu bölge demektir. Grafik x eksenini -2 ve 11’de kestiğine göre, bu iki nokta arasında pozitif (veya negatif) değerler alacaktır.

Grafiği zihnimizde canlandıralım: Kökler arasında fonksiyonun işareti değişmez. Bu aralıkta grafik ya tamamen yukarıdadır ya da tamamen aşağıdadır. (Genellikle parabol gibi sürekli fonksiyonlar için bu geçerlidir).

Bizden istenen \(f(x) > 0\) olan aralık, grafiğin x ekseninin üzerinde olduğu yerdir. Bu, kökler arasındaki aralık olan \( (-2, 11) \) aralığıdır.

Şimdi bu aralıktaki tam sayıları bulalım:

\[ -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \]

Son olarak, bu tam sayıların toplamını hesaplayalım:

\[ (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \]

Burada -1 ile +1 birbirini götürür. Geriye kalan sayıların toplamı:

\[ 2 + 3 + … + 10 \]

Bu toplamı Gauss yöntemiyle veya ardışık sayılar toplam formülüyle bulabiliriz. Terim sayısı: \(10-2+1=9\). Formül: \( \frac{\text{Terim Sayısı}}{2} \times (\text{İlk Terim} + \text{Son Terim}) \).

\[ \text{Toplam} = \frac{9}{2} \times (2 + 10) = \frac{9}{2} \times 12 = 9 \times 6 = 54 \]

Sonuç: İstenen tam sayıların toplamı 54’tür.

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

Bir \(B\) aralığındaki her \(x_1\) ve \(x_2\) değeri için;

• Eğer \(x_1 < x_2\) iken \(f(x_1) < f(x_2)\) oluyorsa, yani x değerleri büyürken y değerleri de büyüyorsa, fonksiyon bu \(B\) aralığında artandır. (Grafik yokuş yukarı çıkar.)
• Eğer \(x_1 < x_2\) iken \(f(x_1) > f(x_2)\) oluyorsa, yani x değerleri büyürken y değerleri küçülüyorsa, fonksiyon bu \(B\) aralığında azalandır. (Grafik yokuş aşağı iner.)
• Eğer \(x_1 < x_2\) iken \(f(x_1) = f(x_2)\) oluyorsa, fonksiyon bu \(B\) aralığında sabittir. (Grafik yatay bir çizgi şeklindedir.)

Örnek 3

Yanda grafiği verilen \(y=f(x)\) fonksiyonunun artan ve azalan olduğu en geniş aralıkları bulunuz.

Çözüm:

Grafiği soldan sağa, yani x’in en küçük değerinden en büyüğüne doğru okuyalım ve kalemin hareketini takip edelim:

• \( [0, 5] \) aralığında: Grafik sürekli yukarı doğru tırmanıyor. O halde bu aralıkta fonksiyon artandır.
• \( [5, 8] \) aralığında: Grafik aşağı doğru iniyor. O halde bu aralıkta fonksiyon azalandır.
• \( [8, 10] \) aralığında: Grafik tekrar yukarı tırmanıyor. Fonksiyon artandır.
• \( [10, 11] \) aralığında: Grafik yatay ilerliyor. Fonksiyon sabittir.
• \( [11, 15] \) aralığında: Grafik aşağı iniyor. Fonksiyon azalandır.
• \( [15, 18] \) aralığında: Grafik yukarı tırmanıyor. Fonksiyon artandır.
• \( [18, 26] \) aralığında: Grafik aşağı iniyor. Fonksiyon azalandır.
• \( [26, 30] \) aralığında: Grafik yukarı tırmanıyor. Fonksiyon artandır.

Sonuç:

Artan olduğu aralıklar: \( [0,5] \cup [8,10] \cup [15,18] \cup [26,30] \)

Azalan olduğu aralıklar: \( [5,8] \cup [11,15] \cup [18,26] \)

Sınav Tüyosu: Doğrusal Fonksiyonlar

\(f(x) = mx + n\) şeklindeki doğrusal fonksiyonların artan veya azalan olması tamamen eğim olan ‘m’ katsayısına bağlıdır:

• m > 0 ise fonksiyon daima artandır.
• m < 0 ise fonksiyon daima azalandır.
• m = 0 ise fonksiyon daima sabittir (\(f(x) = n\)).

Maksimum ve Minimum

• Maksimum Değer: Fonksiyonun tanımlı olduğu aralıkta aldığı en büyük \(y\) değeridir. Bu değerin alındığı \((x, y)\) noktasına ise maksimum noktası denir.
• Minimum Değer: Fonksiyonun tanımlı olduğu aralıkta aldığı en küçük \(y\) değeridir. Bu değerin alındığı \((x, y)\) noktasına ise minimum noktası denir.

Örnek 4

Grafiği verilen \(f: [-5, 5] \to \mathbb{R}\), \(y=f(x)\) fonksiyonu için aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a) f fonksiyonunun minimum ve maksimum noktalarını bulunuz.

b) f fonksiyonunun minimum ve maksimum değerini bulunuz.

Çözüm:

Grafiği \([-5, 5]\) aralığında inceleyelim.

Grafiğin ulaştığı en yüksek nokta \(D(5, 3)\) noktasıdır. Bu nokta, x=5 apsisli uç noktadadır.

Grafiğin ulaştığı en alçak nokta ise \(C(1, -3)\) noktasıdır. Bu nokta, grafikteki “çukur”lardan biridir.

a) Nokta sorulduğunda koordinatları \((x, y)\) olarak vermeliyiz.

• Maksimum noktası: \( D(5, 3) \)
• Minimum noktası: \( C(1, -3) \)

b) Değer sorulduğunda sadece \(y\) (ordinat) değerini vermeliyiz.

• Maksimum değeri: 3
• Minimum değeri: -3

Ortalama Değişim Hızı Formülü

Bir \(f\) fonksiyonunun \( [a, b] \) aralığındaki ortalama değişim hızı:

\[ \text{Ortalama Değişim Hızı} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) – f(a)}{b – a} \]

Bu formül, \(y\) değerlerindeki değişimin, \(x\) değerlerindeki değişime oranıdır.

Örnek 5

f: \( \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \(f(x) = -x^3 + 4x – 3\) biçimindeki f fonksiyonunun \( [-1, 3] \) aralığındaki ortalama değişim hızını bulunuz.

Çözüm:

Formülümüzü kullanmak için aralığın uç noktalarındaki fonksiyon değerlerini bulmalıyız. Aralığımız \( [-1, 3] \), yani \(a=-1\) ve \(b=3\).

1. \(f(b) = f(3)\) değerini hesaplayalım:

\[ f(3) = -(3)^3 + 4(3) – 3 = -27 + 12 – 3 = -18 \]

2. \(f(a) = f(-1)\) değerini hesaplayalım:

\[ f(-1) = -(-1)^3 + 4(-1) – 3 = -(-1) – 4 – 3 = 1 – 4 – 3 = -6 \]

3. Formülde yerine yazalım:

\[ \text{Ortalama Değişim Hızı} = \frac{f(3) – f(-1)}{3 – (-1)} = \frac{-18 – (-6)}{3 + 1} = \frac{-18 + 6}{4} = \frac{-12}{4} = -3 \]

Sonuç: Fonksiyonun \( [-1, 3] \) aralığındaki ortalama değişim hızı -3’tür. Bu, bu aralıkta fonksiyonun ortalama olarak azaldığını gösterir.

Sınav Tüyosu: Ortalama Değişim Hızı ve Fonksiyon Türü