Kosinüs Teoremi Formülü

Bir ABC üçgeninde kenar uzunlukları a, b, c ve bu kenarları gören açılar sırasıyla A, B, C olmak üzere:

\[ a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cdot \cos(A) \]
\[ b^2 = a^2 + c^2 – 2ac \cdot \cos(B) \]
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cdot \cos(C) \]

Ezberleme Tekniği: Hangi kenarı bulmak istiyorsanız, formül Pisagor gibi başlar (`a² = b² + c²`), sonra da bu iki kenarın (`b` ve `c`) ve aralarındaki açının (`A`) kosinüsünün çarpımının 2 katını çıkarırsınız.

Örnek 1

Bir sergide, A, B ve C noktalarında bulunan üç stand şekildeki gibi yerleştirilmiştir. |AC| = 5 m, |AB| = 4 m ve aralarındaki açı \(m(\widehat{BAC}) = 60°\) olduğuna göre, B ve C noktaları arasındaki mesafe kaç metredir?

Çözüm Adımları:

1. Analiz: İki kenar (4 ve 5) ve aralarındaki açıyı (60°) biliyoruz. Bizden üçüncü kenarı (|BC|) bulmamız isteniyor. Bu tam olarak Kosinüs Teoremi’nin KAK uygulamasıdır. |BC| kenarına `x` diyelim.
2. Formül Seçimi: A açısının karşısındaki kenarı aradığımız için `a² = b² + c² – 2bc·cos(A)` formülünü kullanacağız. Burada `a=x`, `b=5`, `c=4` ve `A=60°`.
3. Uygulama:
   \[ x^2 = 5^2 + 4^2 – 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos(60°) \]
4. Hesaplama: \( \cos(60°) = \frac{1}{2} \) olduğunu hatırlayalım.
   \[ x^2 = 25 + 16 – 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) \]
   \[ x^2 = 41 – 20 \]
   \[ x^2 = 21 \Rightarrow x = \sqrt{21} \]

Sonuç: B ve C noktaları arasındaki mesafe \( \sqrt{21} \) metredir.

Örnek 2

Kenar uzunlukları |AB|= 15 cm, |AC|= 7 cm, |BC|= 20 cm olan bir ABC üçgeni veriliyor. Buna göre \( \tan(\widehat{BAC}) \) değerini bulunuz.

Çözüm Adımları:

1. Analiz: Üç kenar uzunluğunu da biliyoruz (KKK durumu). Bizden bir açının tanjantı isteniyor. Önce Kosinüs Teoremi’ni kullanarak o açının kosinüsünü bulmalıyız. Aradığımız açı \(\widehat{BAC}\), yani A açısıdır.
2. Formül Seçimi: A açısını bulmak için `a² = b² + c² – 2bc·cos(A)` formülünü kullanacağız. Burada `a=20` (A açısının karşısı), `b=7`, `c=15`.
3. Uygulama ve Kosinüsü Bulma:
   \[ 20^2 = 7^2 + 15^2 – 2 \cdot 7 \cdot 15 \cdot \cos(A) \]
   \[ 400 = 49 + 225 – 210 \cdot \cos(A) \]
   \[ 400 = 274 – 210 \cdot \cos(A) \]
   \[ 400 – 274 = -210 \cdot \cos(A) \]
   \[ 126 = -210 \cdot \cos(A) \]
   \[ \cos(A) = -\frac{126}{210} = -\frac{3 \cdot 42}{5 \cdot 42} = -\frac{3}{5} \]
4. Tanjantı Bulma: \( \cos(A) \) değerini biliyoruz. Bir dik üçgen çizerek diğer trigonometrik oranları bulabiliriz. Kosinüs negatif çıktığı için A açısının geniş bir açı (90° ile 180° arasında) olduğunu anlıyoruz. Bu bölgede tanjant da negatiftir.Önce işareti yok sayarak bir dik üçgen çizelim. Komşu kenar 3, hipotenüs 5 olsun. Pisagor’dan karşı kenar \( \sqrt{5^2 – 3^2} = \sqrt{16} = 4 \) olur.Bu üçgene göre \( \tan(A) \) oranı \( \frac{\text{Karşı}}{\text{Komşu}} = \frac{4}{3} \) olurdu. Ancak A geniş açı olduğu için tanjantı negatif olmalıdır.

   \[ \tan(A) = -\frac{4}{3} \]

Sonuç: \( \tan(\widehat{BAC}) = -\frac{4}{3} \)’tür.

Sınav Taktikleri – Kosinüs Teoremi

• Ne Zaman?: Soruda 3 kenar ve 1 açı varsa (veya bunlardan 3’ü verilip 1’i isteniyorsa) aklına hemen Kosinüs Teoremi gelsin.
• Negatif Kosinüs: Hesaplama sonucunda `cos(A)` negatif çıkarsa panikleme! Bu sadece A açısının geniş açı (90°’den büyük) olduğu anlamına gelir. Bu durum, ikinci bölgedeki açıların kosinüslerinin negatif olmasından kaynaklanır.

Sinüs Teoremi Formülü

Bir ABC üçgeninde kenar uzunlukları a, b, c ve bu kenarları gören açılar sırasıyla A, B, C olmak üzere:

\[ \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} \]

Bu oran aynı zamanda üçgenin çevrel çemberinin çapına (`2R`) eşittir, ancak şimdilik bu temel formüle odaklanalım.

Örnek 3

Bir resim çerçevesi A noktasından duvara asılmıştır. A ile C arasındaki ipin uzunluğunun, A ile B arasındaki ipin uzunluğuna oranı \( \sqrt{2} \)’dir. A ile B arasındaki ipin çerçevenin üst kenarıyla yaptığı açı 45° olduğuna göre, A noktasında oluşan \( \widehat{BAC} \) açısı kaç derecedir?

Çözüm Adımları:

1. Verileri Modelleme: |AB| = k dersek, |AC| = \(k\sqrt{2}\) olur. \(m(\widehat{B}) = 45°\) olarak verilmiş. Bizden \(m(\widehat{A})\) isteniyor. Ama önce C açısını bulmalıyız.
2. Analiz: İki kenar ve bir kenarın karşısındaki açıyı biliyoruz. Diğer kenarın karşısındaki açıyı (C açısı) bulabiliriz. Bu bir Sinüs Teoremi uygulamasıdır.
3. Formül Uygulaması:
   \[ \frac{|AC|}{\sin(B)} = \frac{|AB|}{\sin(C)} \]
   \[ \frac{k\sqrt{2}}{\sin(45°)} = \frac{k}{\sin(C)} \]
4. Hesaplama: \( \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) olduğunu biliyoruz.
   \[ \frac{k\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{k}{\sin(C)} \]
   \[ k\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{k}{\sin(C)} \]
   \[ 2k = \frac{k}{\sin(C)} \]
   \[ \sin(C) = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2} \]
5. Açıları Bulma: Sinüsü 1/2 olan açı 30°’dir. (Soruda üçgenin dar açılı olduğu varsayılır).\(m(\widehat{C}) = 30°\).Üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğundan:

   \[ m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180° \]
   \[ m(\widehat{A}) + 45° + 30° = 180° \]
   \[ m(\widehat{A}) = 180° – 75° = 105° \]

Sonuç: A noktasında oluşan \( \widehat{BAC} \) açısı 105 derecedir.

Örnek 4

Bir ABC üçgeninde D noktası [BC] üzerindedir. |AC| = 7 cm, |AD| = \(4\sqrt{3}\) cm, |BD| = \(3\sqrt{3}\) cm ve \(m(\widehat{BDA}) = 120°\) dir. \(m(\widehat{BAD})=\alpha\) ve \(m(\widehat{B})=\beta\) olduğuna göre \( \frac{\sin\beta}{\sin\alpha} \) ifadesinin değerini bulunuz.

Çözüm Adımları:

1. Analiz: Soru bizden sinüslerin oranını istiyor. Bu, Sinüs Teoremi’nin tam da ilgi alanıdır. Sadece ABD üçgenine odaklanmamız yeterli.
2. Formül Uygulaması: ABD üçgeninde Sinüs Teoremi’ni yazalım:
   \[ \frac{\text{kenar}}{\sin(\text{karşı açı})} = \text{sabit oran} \]
   \[ \frac{|AD|}{\sin(\beta)} = \frac{|BD|}{\sin(\alpha)} \]
3. Değerleri Yerine Koyma: Verilen uzunlukları formüle yazalım.
   \[ \frac{4\sqrt{3}}{\sin(\beta)} = \frac{3\sqrt{3}}{\sin(\alpha)} \]
4. Oranı Düzenleme: Şimdi bizden istenen \( \frac{\sin\beta}{\sin\alpha} \) oranını elde etmek için içler dışlar çarpımı benzeri bir düzenleme yapalım.
   \[ 4\sqrt{3} \cdot \sin(\alpha) = 3\sqrt{3} \cdot \sin(\beta) \]
   Her iki tarafı \( \sqrt{3} \)’e bölelim:
   \[ 4 \sin(\alpha) = 3 \sin(\beta) \]
   \( \sin\alpha \)’yı sağa, 3’ü sola bölüm olarak atalım:
   \[ \frac{4}{3} = \frac{\sin(\beta)}{\sin(\alpha)} \]

Sonuç: İstenen oran \( \frac{4}{3} \)’tür.

Sınav Taktikleri – Sinüs Teoremi

• “Karşılıklı İkili” Ara: Bir soruda bir kenar ve tam karşısındaki açıyı biliyorsan, aklına hemen Sinüs Teoremi gelsin. Bu ikili, denklemi çözmeni sağlayan anahtardır.
• Belirsiz Durum (KKA): İki kenar ve bu kenarlardan birinin karşısındaki açı verildiğinde (KKA durumu), bazen iki farklı üçgen çizilebilir (açının dar veya geniş olma durumuna göre). Sorunun bağlamını ve şekildeki çizimi dikkate alarak doğru açıyı seçmelisin. Örneğin, `sin(x) = 1/2` ise `x` açısı 30° de olabilir, 150° de. Eğer üçgenin diğer açısı zaten 40° ise, `x` açısı 150° olamaz çünkü toplamları 180°’yi geçer.