Eğer \(a\) bir gerçek sayı ve \(n\) pozitif bir tam sayı ise,
\[ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{\text{n tane}} \]
Burada \(a\) taban (base), \(n\) ise üs (exponent) olarak adlandırılır.

* \(2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\)
* \((-3)^4 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 81\)
* \((-2)^5 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -32\)
* \((1/2)^4 = (1/2) \cdot (1/2) \cdot (1/2) \cdot (1/2) = 1/16\)

Eğer \(a \neq 0\) ve \(n\) pozitif bir tam sayı ise,
\[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \]
Özel olarak, \(a^{-1} = \frac{1}{a}\).

Örnek: Aşağıdaki üslü ifadelerin değerlerini bulunuz.

* \(4^{-1} = \frac{1}{4^1} = \frac{1}{4}\)
* \(3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\)
* \((-5)^{-3} = \frac{1}{(-5)^3} = \frac{1}{-125} = -\frac{1}{125}\)
* \((-2/5)^{-2} = (-5/2)^2 = \frac{(-5)^2}{2^2} = \frac{25}{4}\)

Eğer \(a \neq 0\) ise,
\[ a^0 = 1 \]

Örnek: Aşağıdaki üslü ifadelerin değerlerini bulunuz.

* \(8^0 = 1\)
* \(12^0 = 1\)
* \((-6)^0 = 1\)

Eğer \(x\) bir gerçek sayı ve \(n\) bir tam sayı ise,
\[ a \cdot x^n + b \cdot x^n – c \cdot x^n = (a + b – c) \cdot x^n \]

Örnek: Aşağıdaki işlemleri yapınız.

* \(3 \cdot 2^{10} + 2^{10} = (3+1) \cdot 2^{10} = 4 \cdot 2^{10}\)
* \(5 \cdot 3^{12} – 2 \cdot 3^{12} = (5-2) \cdot 3^{12} = 3 \cdot 3^{12}\)
* \(-7 \cdot 11^5 + 4 \cdot 11^5 = (-7+4) \cdot 11^5 = -3 \cdot 11^5\)
* \(0.4 \cdot 5^7 + 2.1 \cdot 5^7 = (0.4+2.1) \cdot 5^7 = 2.5 \cdot 5^7\)

Eğer \(x\) sıfırdan farklı bir gerçek sayı ve \(a, b\) tam sayılar ise,
\[ x^a \cdot x^b = x^{a+b} \]
\[ \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} \]

Örnek: Aşağıdaki işlemleri yapınız.

* \(2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7\)
* \(3^6 \cdot 3^{-4} = 3^{6+(-4)} = 3^2\)
* \(\frac{2^5}{2^3} = 2^{5-3} = 2^2\)
* \(\frac{6^3}{6^{-2}} = 6^{3-(-2)} = 6^{3+2} = 6^5\)

Eğer \(x, y\) sıfırdan farklı gerçek sayılar ve \(a\) tam sayı ise,
\[ x^a \cdot y^a = (x \cdot y)^a \]
\[ \frac{x^a}{y^a} = \left(\frac{x}{y}\right)^a \]

Örnek: Aşağıdaki işlemleri yapınız.

* \(2^3 \cdot 5^3 = (2 \cdot 5)^3 = 10^3\)
* \((-2)^5 \cdot (-7)^5 = ((-2) \cdot (-7))^5 = 14^5\)
* \(\frac{6^4}{5^4} = \left(\frac{6}{5}\right)^4\)
* \(\frac{10^3}{(-2)^3} = \left(\frac{10}{-2}\right)^3 = (-5)^3\)

Eğer \(x\) bir gerçek sayı ve \(a, b\) tam sayılar ise,
\[ (x^a)^b = x^{a \cdot b} \]

Örnek: Aşağıdaki işlemleri yapınız.

* \((3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6\)
* \((5^4)^6 = 5^{4 \cdot 6} = 5^{24}\)
* \((-2^5)^2 = (-2)^{5 \cdot 2} = (-2)^{10} = 2^{10}\) (Üs çift olduğu için negatif taban pozitif olur)

Sınav İpucu: İşlem önceliğine dikkat edin! Özellikle eksi işaretlerinde \(-3^4 = -(3^4) = -81\) iken \((-3)^4 = 81\) olduğuna dikkat edin. Üssün üssü alırken parantezlerin konumuna çok dikkat edin.

Bir sayının bilimsel gösterimi \(a \cdot 10^n\) şeklindedir; burada
* \(1 \le |a| < 10\) olmalıdır (yani \(a\) bir basamaklı bir sayıdır, tam kısmı 1 ile 9 arasındadır).
* \(n\) bir tam sayıdır.

Örnek: Aşağıdaki sayıları bilimsel gösterimle yazınız.

* \(123 \cdot 10^4 = 1.23 \cdot 10^2 \cdot 10^4 = 1.23 \cdot 10^6\)
* \(0.000000175 = 1.75 \cdot 10^{-7}\)
* \(750,000,000 = 7.5 \cdot 10^8\)
*Uygulama Örneği: Kütlesi 66.22 kg olan bir kişinin vücudunda yaklaşık \(66.22 \cdot 10^{26}\) atom bulunur. 1 mol atom \(6.02 \cdot 10^{23}\) atom ise, bu kişinin vücudunda kaç mol atom vardır?

Çözüm:
Toplam atom sayısı: \(66.22 \cdot 10^{26} = 6.622 \cdot 10^{27}\) atom.
Mol sayısı: \(\frac{6.622 \cdot 10^{27}}{6.02 \cdot 10^{23}}\)
\(= \left(\frac{6.622}{6.02}\right) \cdot 10^{27-23}\)
\(\approx 1.1 \cdot 10^4\) mol.

Eğer \(x\) bir gerçek sayı, \(m\) ve \(n\) pozitif tam sayılar ve \(n \ge 2\) ise,
\[ x^{m/n} = \sqrt[n]{x^m} \]
Bu gösterime köklü gösterim (radical notation) denir. \(n\) sayısına kök derecesi (radical index), \(x^m\) ifadesine ise kök içi (radicand) denir.
Özel olarak, \(n=2\) olduğunda \( \sqrt[2]{x^m} \) yerine sadece \( \sqrt{x^m} \) yazılır ve buna karekök (square root) denir. \(n=3\) olduğunda küpkök (cube root) denir.

* Köklü bir ifadeyi üslü ifadeye dönüştürme: \( \sqrt[n]{x^m} = x^{m/n} \)
* Üslü bir ifadeyi köklü ifadeye dönüştürme: \( x^{m/n} = \sqrt[n]{x^m} \)

Örnek: Aşağıdaki ifadeleri diğer formlarına dönüştürünüz.

* \(2^{3/2} = \sqrt[2]{2^3} = \sqrt{8}\)
* \(5^{2/3} = \sqrt[3]{5^2} = \sqrt[3]{25}\)
* \(\sqrt{6} = 6^{1/2}\)
* \(\sqrt[3]{7} = 7^{1/3}\)
* \(\sqrt[5]{16} = 16^{1/5}\)
* \((-2)^{3/5} = \sqrt[5]{(-2)^3} = \sqrt[5]{-8}\) (Kök derecesi tek olduğunda kök içi negatif olabilir.)

Sınav İpucu: Kök derecesi çift ise (örneğin karekök, dördüncü kök), kök içindeki sayı negatif olamaz. Bu durumda \(\sqrt[n]{a}\) ifadesi, \(a \ge 0\) olmalıdır. Ancak \(n\) tek sayı ise \(a\) herhangi bir gerçek sayı olabilir. Örneğin, \(\sqrt{-4}\) bir gerçek sayı değildir, fakat \(\sqrt[3]{-8} = -2\) bir gerçek sayıdır. Ayrıca \( \sqrt[n]{x^n} = |x| \) eğer \(n\) çift ise ve \( \sqrt[n]{x^n} = x \) eğer \(n\) tek ise.

Eğer \(x \ge 0\) ise ve \(n\) pozitif bir tam sayı ise,
\[ a \cdot \sqrt[n]{x} + b \cdot \sqrt[n]{x} – c \cdot \sqrt[n]{x} = (a + b – c) \cdot \sqrt[n]{x} \]

Örnek: Aşağıdaki işlemleri yapınız.

* \(4\sqrt[3]{5} + 2\sqrt[3]{5} = (4+2)\sqrt[3]{5} = 6\sqrt[3]{5}\)
* \(5\sqrt{3} – 2\sqrt{12} + 5\sqrt{27}\)
Önce kök içlerini sadeleştirelim:
\(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\)
\(\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}\)
Şimdi yerine yazalım:
\(5\sqrt{3} – 2(2\sqrt{3}) + 5(3\sqrt{3}) = 5\sqrt{3} – 4\sqrt{3} + 15\sqrt{3}\)
\(= (5-4+15)\sqrt{3} = 16\sqrt{3}\)

Eğer \(x, y \ge 0\) ve \(n\) pozitif bir tam sayı ise,
\[ \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{x \cdot y} \]
\[ \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} = \sqrt[n]{\frac{x}{y}} \quad (y \neq 0) \]

Örnek: Aşağıdaki işlemleri yapınız.

* \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{6}\)
* \(\sqrt[5]{24} \cdot \sqrt[5]{4} \div \sqrt[5]{3} = \sqrt[5]{\frac{24 \cdot 4}{3}} = \sqrt[5]{8 \cdot 4} = \sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2\)
* \(\frac{\sqrt[6]{36}}{\sqrt[6]{2}} = \sqrt[6]{\frac{36}{2}} = \sqrt[6]{18}\)

\[ \sqrt[n]{x^m} = x^{m/n} = x^{m \cdot k / n \cdot k} = \sqrt[n \cdot k]{x^{m \cdot k}} \]
Ortak kök derecesi genellikle \(n\) ve \(m\) sayılarının en küçük ortak katı (EKOK) olarak seçilir.

Örnek: Aşağıdaki işlemleri yapınız.

* \(\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{5}\)
Kök dereceleri 2 ve 3. EKOK(2,3) = 6.
\(\sqrt{2} = \sqrt[2 \cdot 3]{2^{1 \cdot 3}} = \sqrt[6]{2^3} = \sqrt[6]{8}\)
\(\sqrt[3]{5} = \sqrt[3 \cdot 2]{5^{1 \cdot 2}} = \sqrt[6]{5^2} = \sqrt[6]{25}\)
Şimdi çarpalım: \(\sqrt[6]{8} \cdot \sqrt[6]{25} = \sqrt[6]{8 \cdot 25} = \sqrt[6]{200}\)

* \(\frac{\sqrt{10}}{\sqrt[4]{5}}\)
Kök dereceleri 2 ve 4. EKOK(2,4) = 4.
\(\sqrt{10} = \sqrt[2 \cdot 2]{10^{1 \cdot 2}} = \sqrt[4]{10^2} = \sqrt[4]{100}\)
Şimdi bölelim: \(\frac{\sqrt[4]{100}}{\sqrt[4]{5}} = \sqrt[4]{\frac{100}{5}} = \sqrt[4]{20}\)

Örnek: \(a = \sqrt[3]{3}\), \(b = \sqrt[2]{2}\) ve \(c = \sqrt[9]{7}\) sayılarını küçükten büyüğe sıralayınız.

Çözüm: Kök dereceleri 3, 2 ve 9. EKOK(3,2,9) = 18.
* \(a = \sqrt[3]{3} = \sqrt[3 \cdot 6]{3^{1 \cdot 6}} = \sqrt[18]{3^6} = \sqrt[18]{729}\)
* \(b = \sqrt[2]{2} = \sqrt[2 \cdot 9]{2^{1 \cdot 9}} = \sqrt[18]{2^9} = \sqrt[18]{512}\)
* \(c = \sqrt[9]{7} = \sqrt[9 \cdot 2]{7^{1 \cdot 2}} = \sqrt[18]{7^2} = \sqrt[18]{49}\)

Şimdi kök içlerini sıralayalım: \(49 < 512 < 729\).
Dolayısıyla, \(c < b < a\).

* \(\sqrt{a}\) ifadesinin eşleniği \(\sqrt{a}\)’dır. Çarpımları: \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a \)
* \(\sqrt{a} – \sqrt{b}\) ifadesinin eşleniği \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\)’dir. Çarpımları: \( (\sqrt{a} – \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a – b \)
* \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\) ifadesinin eşleniği \(\sqrt{a} – \sqrt{b}\)’dir. Çarpımları: \( (\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} – \sqrt{b}) = a – b \)
* \(a – \sqrt{b}\) ifadesinin eşleniği \(a + \sqrt{b}\)’dir. Çarpımları: \( (a – \sqrt{b})(a + \sqrt{b}) = a^2 – b \)

Örnek: Aşağıdaki ifadelerin paydasını rasyonel yapınız.

* \(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)
* \(\frac{2}{\sqrt{5}- \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{5}- \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5})^2 – (\sqrt{2})^2} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{5-2} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{3}\)
* \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} – \frac{1}{\sqrt{3}+1}\)

Birinci terimi eşleniği ile çarpalım: \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} = \frac{3+\sqrt{3}}{3-1} = \frac{3+\sqrt{3}}{2}\)

İkinci terimi eşleniği ile çarpalım: \(\frac{1}{\sqrt{3}+1} \cdot \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{3}-1}{3-1} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}\)

Şimdi çıkaralım: \(\frac{3+\sqrt{3}}{2} – \frac{\sqrt{3}-1}{2} = \frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{3}+1}{2} = \frac{4}{2} = 2\)

Sınav İpucu: Paydayı rasyonel yapma soruları genellikle tam kare farkı özdeşliği \( (a-b)(a+b) = a^2-b^2 \) ile çözülür. Özellikle sınavda zaman kazanmak için bu özdeşliği iyi kavramalısınız. Karmaşık ifadelerde payda rasyonel hale getirildikten sonra sadeleştirmeler olabileceğini unutmayın.