1. Olasılıklar Kullanılarak: \( \displaystyle P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \) (Burada \(P(B) \ne 0\))

2. Eleman Sayıları Kullanılarak: \( \displaystyle P(A|B) = \frac{s(A \cap B)}{s(B)} \) (Burada \(s(B) \ne 0\))

Adım Adım Çözüm:

1. Örnek Uzayı ve Olayları Tanımlama:
Normalde örnek uzayımız \(E = \{YYY, YYT, YTY, TYY, YTT, TYT, TTY, TTT\}\) olup \(s(E) = 8\)’dir. Ancak soruda bir koşul var.

Koşul Olayı (B): “2 kez yazı gelmesi”. Bu koşul, bizim yeni örnek uzayımızdır.
Bu durumu sağlayan sonuçlar: \(B = \{YYT, YTY, TYY\}\).
Dolayısıyla, yeni örnek uzayımızın eleman sayısı: \(s(B) = 3\).

İstenen Olay (A): “İlk ve son atışın yazı gelmesi”.
Bu durumu sağlayan sonuçlar: \(A = \{YYY, YTY\}\).

2. Kesişimi Bulma:
Formülümüz \( \frac{s(A \cap B)}{s(B)} \) olduğu için, hem A olayını (ilk ve son atış yazı) hem de B olayını (tam 2 yazı) sağlayan durumları bulmalıyız.
\(A \cap B\): B kümesindeki elemanlardan hangilerinin A koşulunu da sağladığına bakarız.
\(B = \{YYT, \underline{YTY}, TYY\}\) içinde sadece YTY’nin ilk ve son atışı yazıdır.
\(A \cap B = \{YTY\}\).
Dolayısıyla, kesişimin eleman sayısı: \(s(A \cap B) = 1\).

3. Olasılığı Hesaplama:
Artık formülü kullanabiliriz:
\[ P(A|B) = \frac{s(A \cap B)}{s(B)} = \frac{1}{3} \]
Sonuç olarak, 2 kez yazı geldiği biliniyorsa, ilk ve son atışın yazı olma olasılığı \(\frac{1}{3}\)’tür.

Adım Adım Çözüm:

1. Örnek Uzayı Listeleme:
3 çocuk için \(2^3 = 8\) olası durum vardır:
\(E = \{KKK, KKE, KEK, EKK, EEK, EKE, KEE, EEE\}\)

Koşul Olayı (A): “En az bir çocuğun erkek olması”.
Bu, “hepsinin kız olması” durumunun dışındaki tüm durumlardır.
\(A = \{KKE, KEK, EKK, EEK, EKE, KEE, EEE\}\).
Yeni örnek uzayımızın eleman sayısı: \(s(A) = 7\).

İstenen Olay (B): “Diğer ikisinin kız olması”. Bu ifade “tam olarak 1 erkek ve 2 kız olması” anlamına gelir.
\(B = \{KKE, KEK, EKK\}\).

2. Kesişimi Bulma:
Hem A (en az bir erkek) hem de B (tam olarak 1 erkek, 2 kız) olayını sağlayan durumları bulalım.
B kümesindeki tüm elemanlar zaten en az bir erkek içerdiği için A kümesinin bir alt kümesidir.
\(A \cap B = \{KKE, KEK, EKK\}\).
Kesişimin eleman sayısı: \(s(A \cap B) = 3\).

3. Olasılığı Hesaplama:
\[ P(B|A) = \frac{s(A \cap B)}{s(A)} = \frac{3}{7} \]
En az bir çocuğun erkek olduğu bilindiğinde, ailenin 1 erkek ve 2 kız çocuğuna sahip olma olasılığı \(\frac{3}{7}\)’dir.

A ve B olaylarının bağımsız olup olmadığını anlamanın en kesin yolu şu eşitliği kontrol etmektir:

\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]

Eğer bu eşitlik sağlanıyorsa olaylar bağımsızdır. Sağlanmıyorsa bağımlıdır.

Bağımsız Olaylarda “ve”: A ve B olaylarının gerçekleşme olasılığı, olasılıklarının çarpımına eşittir.
\( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \)

Bağımlı Olaylarda “ve”: A ve B olaylarının gerçekleşme olasılığı, koşullu olasılık kullanılarak hesaplanır.
\( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) \)

• A olayı: Seçilen sayının 4’ten büyük olması.
• B olayı: Seçilen sayının 6’dan küçük olması.

A ve B olayları bağımlı mıdır, bağımsız mıdır?

Adım Adım Çözüm:

1. Olasılıkları Ayrı Ayrı Hesapla:
Örnek uzay E = {1, 2, …, 10}, yani \(s(E) = 10\).
A olayı: \(A = \{5, 6, 7, 8, 9, 10\}\) \(\Rightarrow\) \(s(A) = 6\).
\( P(A) = \frac{s(A)}{s(E)} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \).

B olayı: \(B = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) \(\Rightarrow\) \(s(B) = 5\).
\( P(B) = \frac{s(B)}{s(E)} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \).

2. Kesişim Olasılığını Hesapla:
\(A \cap B\): Hem 4’ten büyük hem de 6’dan küçük olan sayılar.
\(A \cap B = \{5\}\) \(\Rightarrow\) \(s(A \cap B) = 1\).
\( P(A \cap B) = \frac{s(A \cap B)}{s(E)} = \frac{1}{10} \).

3. Bağımsızlık Testini Uygula:
Şimdi \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \) eşitliği doğru mu diye kontrol edelim.
\( \frac{1}{10} \stackrel{?}{=} \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} \)
\( \frac{1}{10} \ne \frac{3}{10} \)
Eşitlik sağlanmadığı için A ve B olayları bağımlı olaylardır.

Adım Adım Çözüm:

Bu bir “ard arda” seçim olduğu ve seçilen kişi geri konulmadığı için olaylar bağımlıdır. İkinci seçimdeki olasılık, ilk seçime göre değişecektir.

A olayı: 1. seçilenin kalın sesli kız olması.
B olayı: 2. seçilenin kalın sesli erkek olması.
Bizden istenen \(P(A \cap B)\). Bağımlı olay formülünü kullanırız: \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)\).

1. P(A)’yı Hesapla:
Toplam 40 öğrenci içinde 4 kalın sesli kız var.
\( P(A) = \frac{\text{Kalın Sesli Kız Sayısı}}{\text{Toplam Öğrenci Sayısı}} = \frac{4}{40} \)

2. P(B|A)’yı Hesapla:
Bu, “ilk seçilenin kalın sesli bir kız olduğu bilindiğine göre, ikinci seçilenin kalın sesli erkek olma olasılığı” demektir.
İlk seçim yapıldıktan sonra koroda artık 39 kişi kalmıştır. Kalın sesli erkeklerin sayısı (6) değişmemiştir.
\( P(B|A) = \frac{\text{Kalın Sesli Erkek Sayısı}}{\text{Kalan Öğrenci Sayısı}} = \frac{6}{39} \)

3. Sonucu Çarp:
\( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = \frac{4}{40} \cdot \frac{6}{39} = \frac{1}{10} \cdot \frac{6}{39} = \frac{6}{390} = \frac{1}{65} \)

Adım Adım Çözüm:

Bu soru, tipik bir “sonuç biliniyor, sebebini bul” sorusudur ve koşullu olasılığın en önemli uygulamalarından biridir (Bayes Teoremi).
Bizden istenen: \(P(Y \text{ mağazası} | \text{Kırmızı gömlek})\).

Formülümüz: \( \displaystyle P(Y|K) = \frac{P(Y \cap K)}{P(K)} \)

1. Payı Hesapla: \(P(Y \cap K)\)
Bu, “Y mağazasını seçme ve oradan kırmızı gömlek alma” olasılığıdır.
İki mağazadan birini seçme olasılığı \(\frac{1}{2}\)’dir.
\( P(Y \cap K) = P(\text{Y seçme}) \cdot P(\text{Kırmızı | Y seçildi}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{14} \).

2. Paydayı Hesapla: \(P(K)\) (Toplam Olasılık)
Kırmızı gömlek almanın iki yolu vardır: X’ten almak veya Y’den almak. Bu iki yolun olasılıklarını toplamalıyız.
\( P(K) = P(\text{X’ten Kırmızı}) + P(\text{Y’den Kırmızı}) \)
\( P(K) = P(X \cap K) + P(Y \cap K) \)
\( P(K) = \left( P(\text{X seçme}) \cdot P(\text{Kırmızı | X seçildi}) \right) + \left( \frac{3}{14} \right) \)
\( P(K) = \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} \right) + \frac{3}{14} = \frac{1}{5} + \frac{3}{14} \)
Paydaları eşitleyelim (70): \( \frac{14}{70} + \frac{15}{70} = \frac{29}{70} \).

3. Sonucu Oranla:
\( P(Y|K) = \frac{P(Y \cap K)}{P(K)} = \frac{3/14}{29/70} = \frac{3}{14} \cdot \frac{70}{29} = \frac{3 \cdot 5}{29} = \frac{15}{29} \)

Eğer A ve B olaylarının ortak elemanı yoksa (yani ayrık olaylar ise), \(P(A \cap B) = 0\) olacağından formül \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) haline gelir.

Adım Adım Çözüm:

A olayı: Maçın iki sette bitmesi.
B olayı: Ege Spor’un kazanması.
İstenen: \(P(A \cup B)\). Bu olaylar ayrık değil, çünkü Ege Spor maçı iki sette (EE) kazanabilir.

1. Tüm Olası Maç Sonuçlarını ve Olasılıklarını Listele:

• GG (Güç Spor 2-0 kazanır): \( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \)
• EE (Ege Spor 2-0 kazanır): \( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \)
• GEG (Güç Spor 2-1 kazanır): \( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \)
• EGG (Güç Spor 2-1 kazanır): \( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \)
• EGE (Ege Spor 2-1 kazanır): \( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \)
• GEE (Ege Spor 2-1 kazanır): \( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \)

2. P(A), P(B) ve P(A \(\cap\) B) değerlerini bul:
P(A) – Maçın 2 sette bitmesi: GG veya EE durumları.
\( P(A) = P(GG) + P(EE) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \).

P(B) – Ege Spor’un kazanması: EE, EGE veya GEE durumları.
\( P(B) = P(EE) + P(EGE) + P(GEE) = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \).

P(A \(\cap\) B) – Maçın 2 sette bitmesi VE Ege Spor’un kazanması: Bu sadece EE durumudur.
\( P(A \cap B) = P(EE) = \frac{1}{4} \).

3. Birleşim Formülünü Uygula:
\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \)
\( P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} – \frac{1}{4} = 1 – \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \)