Çemberde Teğet
Merhaba sevgili Matokul öğrencisi! Bu bölümde, çemberin en önemli konularından biri olan “teğet” kavramını ve özelliklerini derinlemesine inceleyeceğiz. Geometride sıkça karşımıza çıkan teğetler, hem kendi başlarına hem de üçgenler ve dörtgenler gibi diğer geometrik şekillerle bir araya geldiğinde harika soruların kapısını aralar. Hazırsan, başlayalım!
Teğetin Temel Özellikleri
Öncelikle, “teğet” nedir, onu netleştirelim. Bir çember ile sadece bir ortak noktası olan doğruya, o çemberin teğeti denir. Bu ortak noktaya ise değme noktası (temas noktası) adını veririz.
Teğetlerle ilgili bilmemiz gereken iki temel ve çok güçlü özellik vardır. Tüm konu bu iki kural üzerine inşa edilmiştir.
Kural 1: Merkezden Teğete İnen Dikme
Bir çemberin merkezinden teğetin değme noktasına çizilen yarıçap, her zaman teğete diktir.
Şekildeki d doğrusu, O merkezli çembere A noktasında teğet ise, o halde \( [OA] \perp d \). Yani, \( m(\angle OAd) = 90^\circ \) olur.
Kural 2: Dışarıdaki Noktadan Çizilen Teğet Parçaları
Bir çembere dışındaki bir noktadan çizilen iki teğet parçasının uzunlukları birbirine eşittir.
Şekilde, A noktasından çembere B ve C noktalarında çizilen teğetler için:
- \( |AB| = |AC| \)
- [AO], A açısının açıortayıdır. Yani, \( m(\angle BAO) = m(\angle CAO) \).
- [AO], merkezdeki \( \angle BOC \) açısının açıortayıdır. Yani, \( m(\angle BOA) = m(\angle COA) \).
Sınav Tüyosu
Bu ikinci kural çok önemlidir! Bir soruda, çemberin dışındaki bir noktadan iki teğet çizildiğini görürseniz, aklınıza hemen şu üçlü gelmeli: Eşit uzunluklar, açıortay ve deltoid. A, B, O ve C noktalarını birleştirdiğinizde oluşan ABOC dörtgeni bir deltoid’dir. Bu da birçok soruda size ekstra ipuçları verecektir.
Örnek 1
C noktasındaki bir ışık kaynağından çıkan ışınlar, O merkezli çember şeklindeki bir aynaya teğettir. Aynanın yarıçapı 30 cm ve \( m(\angle ACB) = 60^\circ \) ise \( |BC| + |AC| \) toplamının, ışık kaynağının aynaya en kısa uzaklığına oranını bulunuz.
Çözüm Adımları:
- Temel Kuralları Uygula: Merkez O ile değme noktaları A ve B’yi birleştirelim. [OA] ve [OB] yarıçaptır ve teğetlere diktir. Yani \( [OA] \perp [AC] \) ve \( [OB] \perp [BC] \). Ayrıca dış noktadan çizilen teğetler eşit olduğu için \( |AC| = |BC| \).
- Açıları Bul: O ile C’yi birleştiren [OC] doğrusu, \( \angle ACB \)’nin açıortayıdır. Dolayısıyla, \( m(\angle OCB) = m(\angle OCA) = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \).
- Özel Üçgeni Fark Et: OBC üçgenine bakalım. B açısı 90°, C açısı 30°. Bu durumda O açısı 60° olur. Yani OBC üçgeni bir 30°-60°-90° dik üçgenidir!
- Uzunlukları Hesapla:
- 30°’nin karşısındaki kenar yarıçap, yani \( |OB| = 30 \) cm.
- 60°’nin karşısındaki kenar \( |BC| \), 30°’nin karşısındakinin \( \sqrt{3} \) katıdır. \( |BC| = 30\sqrt{3} \) cm.
- 90°’nin karşısındaki hipotenüs \( |OC| \), 30°’nin karşısındakinin 2 katıdır. \( |OC| = 2 \times 30 = 60 \) cm.
- İstenenleri Bul:
- \( |BC| + |AC| = 30\sqrt{3} + 30\sqrt{3} = 60\sqrt{3} \) cm.
- Işık kaynağının (C) aynaya en kısa uzaklığı, C ile çember üzerindeki en yakın nokta arasındaki mesafedir. Bu mesafe \( |CH| \) olsun, burada H, [OC] üzerindeki çemberin kesim noktasıdır. \( |CH| = |OC| – |OH| = 60 – 30 = 30 \) cm.
- Oranı Hesapla: \( \frac{|BC| + |AC|}{|CH|} = \frac{60\sqrt{3}}{30} = 2\sqrt{3} \).
Üçgenin Teğet Çemberleri
Teğetler, üçgenlerle birleştiğinde çok ilginç ve önemli yapılar ortaya çıkarır. Bunlar iç teğet çemberi ve dış teğet çemberleridir.
1. Üçgenin İç Teğet Çemberi (Incircle)
Bir üçgenin üç kenarına da içten teğet olan çembere iç teğet çemberi denir. Bu çemberin merkezi, üçgenin iç açıortaylarının kesim noktasıdır ve bu noktaya “incenter” denir.
İç teğet çemberi sorularında, köşelerden teğet değme noktalarına kadar olan mesafelerin eşitliğini kullanırız. Örneğin, yandaki şekilde \( |AD| = |AF| \), \( |BD| = |BE| \) ve \( |CE| = |CF| \) olur.
Örnek 2
O merkezli çember, ABC üçgeninin iç teğet çemberidir. Teğet değme noktaları D, E, F’dir. \(|AE|= 9\) birim, \(|BF|= 8\) birim ve A, O, D noktaları doğrusal olduğuna göre \(|AO|\) uzunluğunu bulunuz.
Çözüm Adımları:
- Teğet Özelliklerini Kullan:
- A noktasından çizilen teğetler: \(|AF| = |AE| = 9\) birim.
- B noktasından çizilen teğetler: \(|BD| = |BF| = 8\) birim.
- Kenar Uzunluğunu Bul: Üçgenin AB kenarının uzunluğu \(|AB| = |AF| + |FB| = 9 + 8 = 17\) birimdir.
- Dikliği Fark Et: A, O, D noktalarının doğrusal olması ne anlama geliyor? O noktası merkez, D noktası ise [BC] kenarına değme noktası. Kural 1’e göre merkezden değme noktasına inen doğru teğete diktir. Yani \( [OD] \perp [BC] \). A, O, D doğrusal olduğuna göre, demek ki \( [AD] \perp [BC] \). Bu, ABD’nin bir dik üçgen olduğunu gösterir.
- Pisagor Teoremi ve Özel Üçgen: ABD dik üçgeninde hipotenüs \(|AB|=17\), bir dik kenar \(|BD|=8\). Hemen 8-15-17 özel dik üçgenini hatırlıyoruz! O halde diğer dik kenar \(|AD| = 15\) birimdir.
- Açıortay Kuralını Hatırla: O noktası iç teğet çemberinin merkezi olduğundan, köşelerle birleştirilen doğrular açıortaydır. Yani [BO], ABD üçgeninde B açısının açıortayıdır.
- İç Açıortay Teoremi: ABD üçgeninde [BO] açıortayına göre İç Açıortay Teoremi’ni uygulayalım. Teorem der ki: “Açıortayın karşı kenarda ayırdığı parçaların oranı, komşu kenarların oranına eşittir.”
\[ \frac{|AB|}{|BD|} = \frac{|AO|}{|OD|} \]
Bize \(|AO|\) soruluyor. \(|AO|=x\) diyelim. \(|AD|=15\) olduğu için \(|OD|=15-x\) olur.
\[ \frac{17}{8} = \frac{x}{15-x} \] - Denklemi Çöz: İçler dışlar çarpımı yapalım.
\[ 17(15-x) = 8x \]
\[ 255 – 17x = 8x \]
\[ 255 = 25x \]
\[ x = \frac{255}{25} = \frac{51}{5} = 10,2 \]
Sonuç olarak, \(|AO| = 10,2\) birim bulunur.
2. Üçgenin Dış Teğet Çemberi (Excircle)
Bir üçgenin bir kenarına ve diğer iki kenarının uzantısına teğet olan çembere dış teğet çemberi denir. Her üçgenin 3 tane dış teğet çemberi vardır.
Dış teğet çemberinin merkezi (excenter), bir iç açıortay ile diğer iki köşeye ait dış açıortayların kesim noktasıdır.
Örnek 3
Şekildeki O merkezli çember, ABC üçgeninin [BC] kenarına ait dış teğet çemberidir. Çember [AD], [AE] ve [CB]’ye D, E, F noktalarında teğettir. \( m(\angle BAC) = 34^\circ \) olduğuna göre \( m(\angle COB) \) kaç derecedir?
Çözüm Adımları:
- Merkezin Özelliğini Anla: O noktası dış teğet çemberinin merkezi olduğu için, B ve C köşelerine ait dış açıortayların kesim noktasıdır. Yani [BO] ve [CO] birer dış açıortaydır.
- Açıları Harflendir:
- ABC üçgeninin C köşesindeki dış açısını [CO] ikiye böler. Bu parçalara ‘a’ diyelim. \(m(\angle OCD) = m(\angle OCF) = a\). Üçgenin iç açısı \( m(\angle ACB) = 180^\circ – 2a \) olur.
- ABC üçgeninin B köşesindeki dış açısını [BO] ikiye böler. Bu parçalara ‘b’ diyelim. \(m(\angle OBE) = m(\angle OBF) = b\). Üçgenin iç açısı \( m(\angle ABC) = 180^\circ – 2b \) olur.
- Büyük Üçgende İç Açıları Topla: ABC üçgeninin iç açıları toplamı 180°’dir.
\[ m(\angle BAC) + m(\angle ABC) + m(\angle ACB) = 180^\circ \]
\[ 34^\circ + (180^\circ – 2b) + (180^\circ – 2a) = 180^\circ \]
\[ 34^\circ + 360^\circ – 2(a+b) = 180^\circ \]
\[ 394^\circ – 180^\circ = 2(a+b) \]
\[ 214^\circ = 2(a+b) \Rightarrow a+b = 107^\circ \] - Küçük Üçgende İç Açıları Topla: Şimdi COB üçgenine odaklanalım. İç açıları toplamı 180°’dir.
\[ m(\angle COB) + m(\angle OCB) + m(\angle OBC) = 180^\circ \]
B ve C’deki açılar, iç açıların bütünleyenleri olan dış açıların yarısıdır. Ancak üçgenin içindeki parçalara bakıyoruz: \(m(\angle OCB)=a\) ve \(m(\angle OBC)=b\).
\[ m(\angle COB) + a + b = 180^\circ \] - Sonuca Ulaş: Bir önceki adımda \( a+b = 107^\circ \) bulmuştuk. Yerine koyalım:
\[ m(\angle COB) + 107^\circ = 180^\circ \]
\[ m(\angle COB) = 180^\circ – 107^\circ = 73^\circ \]