ANALİTİK GEOMETRİ
Analitik Düzlemde İki Nokta Arasındaki Uzaklık
Sevgili Matokul öğrencileri, analitik geometriye sağlam bir başlangıç yapıyoruz! Bu bölümde, koordinat sisteminin temelini ve en sık kullanacağımız araçlardan biri olan iki nokta arasındaki uzaklık formülünü derinlemesine inceleyeceğiz. Bu formül, geometrik şekilleri cebirsel denklemlerle ifade etmemizin kapısını aralar. Tıpkı bir harita üzerinde iki şehir arasındaki mesafeyi bulmak gibi, analitik düzlemde de iki noktanın birbirine ne kadar “uzak” olduğunu hesaplayacağız.
Analitik Düzlem: Temel Kavramlar
İşe en temelden başlayalım. Başlangıç noktaları aynı olan ve bu noktada dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme dik koordinat sistemi denir. Bu sistemin bulunduğu düzlem ise analitik düzlem olarak adlandırılır.
- x ekseni (Apsisler Ekseni): Yatay olan sayı doğrusudur.
- y ekseni (Ordinatlar Ekseni): Düşey olan sayı doğrusudur.
- Orijin (Başlangıç Noktası): x ve y eksenlerinin kesiştiği \(O(0,0)\) noktasıdır.
Bir \(P(a, b)\) noktasında, ‘a’ değerine noktanın apsisi, ‘b’ değerine ise ordinatı denir. Bu ikiliye de noktanın koordinatları denir.
Eksenler analitik düzlemi dört bölgeye ayırır. Bir noktanın hangi bölgede olduğunu apsis ve ordinatının işaretlerine bakarak anlarız:
| Bölge | Apsis (x) | Ordinat (y) | Gösterim |
|---|---|---|---|
| I. Bölge | + | + | (+, +) |
| II. Bölge | – | + | (-, +) |
| III. Bölge | – | – | (-, -) |
| IV. Bölge | + | – | (+, -) |
- x ekseni üzerindeki bir noktanın ordinatı sıfırdır: \(A(x, 0)\).
- y ekseni üzerindeki bir noktanın apsisi sıfırdır: \(B(0, y)\).
Uzaklık Formülünün Doğuşu: Pisagor Teoremi
Analitik düzlemde \(A(x_1, y_1)\) ve \(B(x_2, y_2)\) gibi iki nokta alalım. Bu iki nokta arasındaki en kısa mesafeyi, yani \(|AB|\) uzunluğunu bulmak istiyoruz. Bu işlemi yapmak için geometrinin en temel teoremlerinden biri olan Pisagor Teoremi’nden yardım alacağız.
Noktaları bir dik üçgenin köşeleri olacak şekilde hayal edelim. A ve B noktalarından eksenlere paraleller çizerek bir C noktası oluşturalım. C noktasının koordinatları \( (x_2, y_1) \) olacaktır.
Oluşturduğumuz ABC dik üçgeninde:
- Yatay Kenar Uzunluğu (|AC|): Apsisler arasındaki farktır. Uzaklık negatif olamayacağı için mutlak değer kullanırız, ama Pisagor’da kare alacağımız için bu sorun olmaz.
\[ |AC| = |x_2 – x_1| \] - Dikey Kenar Uzunluğu (|BC|): Ordinatlar arasındaki farktır.
\[ |BC| = |y_2 – y_1| \]
Şimdi Pisagor Teoremini (\(hipotenüs^2 = dik\_kenar_1^2 + dik\_kenar_2^2\)) uygulayalım:
\[ |AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2 \]
\[ |AB|^2 = (x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2 \]
Her iki tarafın karekökünü aldığımızda meşhur formülümüze ulaşırız!
Örnek Uygulamalar
- Noktaları \(A(x_1, y_1)\) ve \(B(x_2, y_2)\) olarak isimlendirelim.\(x_1 = 1, y_1 = 2\)\(x_2 = 2, y_2 = 5\)
- Formülde bu değerleri yerlerine yazalım:
\[ |AB| = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2} \]
\[ |AB| = \sqrt{(2 – 1)^2 + (5 – 2)^2} \] - Parantez içindeki işlemleri yapalım:
\[ |AB| = \sqrt{(1)^2 + (3)^2} \] - Kareleri alıp toplayalım ve sonucu bulalım:
\[ |AB| = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \]
Sonuç: A ve B noktaları arasındaki uzaklık \( \sqrt{10} \) birimdir.
- Bu sefer uzaklık verilmiş, formülde yerine koyup bir denklem kuracağız.\(x_1 = 4, y_1 = k-3\)\(x_2 = -1, y_2 = 3\)
\(|AB| = 13\)
- Formülü yazalım:
\[ 13 = \sqrt{(-1 – 4)^2 + (3 – (k-3))^2} \] - Parantez içlerini düzenleyelim:
\[ 13 = \sqrt{(-5)^2 + (3 – k + 3)^2} \]
\[ 13 = \sqrt{25 + (6 – k)^2} \] - Karekökten kurtulmak için her iki tarafın karesini alalım:
\[ 13^2 = 25 + (6 – k)^2 \]
\[ 169 = 25 + (6 – k)^2 \] - Denklemi çözelim:
\[ 169 – 25 = (6 – k)^2 \]
\[ 144 = (6 – k)^2 \] - Hangi sayının karesinin 144 olduğunu düşünelim. Hem 12’nin hem de -12’nin!\(6 – k = 12 \Rightarrow k = 6 – 12 \Rightarrow k = -6\)veya
\(6 – k = -12 \Rightarrow k = 6 + 12 \Rightarrow k = 18\)
Sonuç: k’nin alabileceği değerler \(-6\) ve \(18\)’dir.
- Bu soru, iki farklı uzaklığı birbirine eşitlememizi istiyor. Ayrı ayrı uzaklık formüllerini yazıp birbirine eşitleyeceğiz. Kareköklerle uğraşmamak için en baştan \(|AC|^2 = |BD|^2\) yazmak daha pratiktir.
- \(|AC|^2\) ifadesini hesaplayalım:
\[ |AC|^2 = (6 – (-k))^2 + (2 – (-4))^2 \]
\[ |AC|^2 = (6 + k)^2 + (6)^2 = (6+k)^2 + 36 \] - \(|BD|^2\) ifadesini hesaplayalım:
\[ |BD|^2 = (k – (-2))^2 + (-6 – 4)^2 \]
\[ |BD|^2 = (k+2)^2 + (-10)^2 = (k+2)^2 + 100 \]
(Dikkat: PDF’te \(B(-2,4)\) ve \(D(k,-6)\) noktaları için \(x_2-x_1\) olarak \(-2-k\) alınmış. \(k-(-2)\) de alsanız karesi aynı sonucu verir. Biz \(k+2\) ile devam edelim.) - Bu iki ifadeyi eşitleyelim:
\[ (6+k)^2 + 36 = (k+2)^2 + 100 \] - Parantez kareleri açalım:
\[ (36 + 12k + k^2) + 36 = (k^2 + 4k + 4) + 100 \]
\[ k^2 + 12k + 72 = k^2 + 4k + 104 \] - Her iki taraftaki \(k^2\) terimleri birbirini götürür. Bilinenleri bir tarafa, bilinmeyenleri diğer tarafa toplayalım:
\[ 12k – 4k = 104 – 72 \]
\[ 8k = 32 \]
\[ k = 4 \]
Sonuç: k değeri 4 olarak bulunur.