Matokul – Kareköklü İşlemler (Tam Kapsamlı)

LGS 2026 HAZIRLIK

Kareköklü İfadelerde İşlemler

2. Ünite | $a\sqrt{b}$, Dört İşlem ve Sıralama

1. $a\sqrt{b}$ Gösterimi (Kök Dışına Çıkarma)

Bazı sayılar tam kare değildir (Örn: $\sqrt{72}$). Bu sayıları tamamen dışarı çıkaramayız ama bir kısmını çıkarabiliriz. Bu işleme $a\sqrt{b}$ biçiminde yazma denir.

MANTIK

🔑 Hapishane Kuralı

Karekök bir hapishanedir. Buradan kaçmak için “Çift” olman (karesini alman) gerekir. Çiftini bulan dışarı tek başına çıkar, bulamayan içeride kalır.

\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2}

36 sayısı 6’nın karesidir (biletini aldı). 2 garibim içeride kaldı.

Sonuç: $6\sqrt{2}$

YÖNTEM 2

🧬 Algoritma Yöntemi

Sayıyı asal çarpanlarına ayır. İkili grup kuranlar dışarı bir temsilci gönderir.

72
36
18
9
3
1

2 \ 

2 / ➔ 2 dışarı

2 ➔ içeride

3 \ 

3 / ➔ 3 dışarı

Dışarıdakiler: $2 \cdot 3 = 6$
İçerideki: $2$
Sonuç: $6\sqrt{2}$

2. Kareköklü Sayılarda Sıralama

🛑 BÜYÜK TUZAK!

Sakın katsayılara bakarak sıralama yapma! $2\sqrt{10}$ sayısı $5\sqrt{2}$ sayısından küçük müdür? Bilemezsin. Karşılaştırma yapmak için herkesi tekrar hapishaneye (kök içine) tıkmalısın!

KURAL Kök İçine Alma:
Dışarıdaki sayı içeri girerken karesini alır (eski gücüne kavuşur).
$$ a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b} $$

Soru: $3\sqrt{2}$ mi büyük, yoksa $\sqrt{17}$ mi? 1. Adım: 3’ü içeri al. $3^2 = 9$ olarak girer.👉 2. Adım: İçeridekiyle çarp. $\sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$ Karşılaştırma: $\sqrt{18} > \sqrt{17}$ olduğu için $3\sqrt{2}$ daha büyüktür.

3. Çarpma ve Bölme (Gruplaşma)

Kareköklü sayılarda işlem yaparken sosyal statü önemlidir. Dışarıdakiler (Katsayılar) kendi aralarında, İçeridekiler (Kök içleri) kendi aralarında işleme girer.

ÇARPMA

a\sqrt{x} \cdot b\sqrt{y} = (a \cdot b)\sqrt{x \cdot y}

Örnek: $2\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{5}$

Dıştakiler: $2 \cdot 4 = 8$
İçtekiler: $3 \cdot 5 = 15$
Sonuç: $8\sqrt{15}$

BÖLME

\frac{a\sqrt{x}}{b\sqrt{y}} = \left(\frac{a}{b}\right)\sqrt{\frac{x}{y}}

Örnek: $\frac{10\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}$

Dıştakiler: $10 \div 2 = 5$
İçtekiler: $6 \div 3 = 2$
Sonuç: $5\sqrt{2}$

⚠️ Önemli Not: Çarpma sonucu kök içinde tam kare oluşursa (Örn: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{36}$), sayı mutlaka dışarı çıkarılmalıdır ($\sqrt{36}=6$).

4. Toplama ve Çıkarma (Elma – Armut Hesabı)

En çok hata yapılan yer burasıdır! Kareköklü sayılarda toplama/çıkarma yapabilmek için KÖK İÇLERİNİN AYNI olması şarttır. Biz buna “Benzer Terim” kuralı diyoruz.

✅ DOĞRU

Benzer Terimler Toplanır

Kök içleri aynıysa, katsayılar toplanır/çıkarılır. Kök aynen yazılır.

2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = (2+5)\sqrt{3} = 7\sqrt{3}

Mantık: “2 Elma + 5 Elma = 7 Elma” ($\sqrt{3}$ elmadır).

❌ YANLIŞ

Elma ile Armut Toplanmaz!

Kök içleri farklıysa asla toplama yapılamaz.

\sqrt{2} + \sqrt{3} \neq \sqrt{5}

Bu işlem böyle kalır. Sonuç $\sqrt{2} + \sqrt{3}$’tür.

🚀 Strateji: Gizli Benzerlik

Sorularda kök içleri farklı verilir ama aslında aynıdır! Önce $a\sqrt{b}$ yap, sonra topla.

Soru: $\sqrt{12} + \sqrt{27}$

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$
$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$
İşlem: $2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$

🎮 LGS Simülasyonu

Tüm işlemleri öğrendin, şimdi şov zamanı!

Soru 1: $\sqrt{48}$ sayısı $a\sqrt{b}$ biçiminde yazılırsa hangisi OLAMAZ?

Kareköklü İfadelerde İşlemler (a√b, Çarpma, Bölme) | 8. Sınıf LGS